Theorem suceq 4139

Description: Equality of successors. (Contributed by NM, 30-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suceq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Proof of Theorem suceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵)
2		sneq 3386	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
3	1, 2	uneq12d 3098	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) = (𝐵 ∪ {𝐵}))
4		df-suc 4108	. 2 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5		df-suc 4108	. 2 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2097	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → suc 𝐴 = suc 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1243   ∪ cun 2915  {csn 3375  suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-sn 3381  df-suc 4108

This theorem is referenced by:  eqelsuc  4156  2ordpr  4249  onsucsssucexmid  4252  onsucelsucexmid  4255  ordsucunielexmid  4256  suc11g  4281  onsucuni2  4288  0elsucexmid  4289  ordpwsucexmid  4294  peano2  4318  findes  4326  nn0suc  4327  0elnn  4340  frecsuc  5991  sucinc  6025  sucinc2  6026  oacl  6040  oav2  6043  oasuc  6044  oa1suc  6047  nna0r  6057  nnacom  6063  nnaass  6064  nnmsucr  6067  nnsucelsuc  6070  nnsucsssuc  6071  nnaword  6084  nnaordex  6100  phplem3g  6319  nneneq  6320  php5  6321  php5dom  6325  indpi  6440  bj-indsuc  10052  bj-bdfindes  10074  bj-nn0suc0  10075  bj-peano4  10080  bj-inf2vnlem1  10095  bj-nn0sucALT  10103  bj-findes  10106