Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  php5 GIF version

Theorem php5 6321
 Description: A natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php5 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem php5
Dummy variables 𝑤 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4 (𝑤 = ∅ → 𝑤 = ∅)
2 suceq 4139 . . . 4 (𝑤 = ∅ → suc 𝑤 = suc ∅)
31, 2breq12d 3777 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ∅ ≈ suc ∅))
43notbid 592 . 2 (𝑤 = ∅ → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ ∅ ≈ suc ∅))
5 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝑘𝑤 = 𝑘)
6 suceq 4139 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → suc 𝑤 = suc 𝑘)
75, 6breq12d 3777 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (𝑤 ≈ suc 𝑤𝑘 ≈ suc 𝑘))
87notbid 592 . 2 (𝑤 = 𝑘 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ 𝑘 ≈ suc 𝑘))
9 id 19 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘𝑤 = suc 𝑘)
10 suceq 4139 . . . 4 (𝑤 = suc 𝑘 → suc 𝑤 = suc suc 𝑘)
119, 10breq12d 3777 . . 3 (𝑤 = suc 𝑘 → (𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
1211notbid 592 . 2 (𝑤 = suc 𝑘 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
13 id 19 . . . 4 (𝑤 = 𝐴𝑤 = 𝐴)
14 suceq 4139 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → suc 𝑤 = suc 𝐴)
1513, 14breq12d 3777 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ≈ suc 𝑤𝐴 ≈ suc 𝐴))
1615notbid 592 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (¬ 𝑤 ≈ suc 𝑤 ↔ ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴))
17 peano1 4317 . . . . 5 ∅ ∈ ω
18 peano3 4319 . . . . 5 (∅ ∈ ω → suc ∅ ≠ ∅)
1917, 18ax-mp 7 . . . 4 suc ∅ ≠ ∅
20 en0 6275 . . . 4 (suc ∅ ≈ ∅ ↔ suc ∅ = ∅)
2119, 20nemtbir 2294 . . 3 ¬ suc ∅ ≈ ∅
22 ensymb 6260 . . 3 (suc ∅ ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ suc ∅)
2321, 22mtbi 595 . 2 ¬ ∅ ≈ suc ∅
24 peano2 4318 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
25 vex 2560 . . . . 5 𝑘 ∈ V
2625sucex 4225 . . . . 5 suc 𝑘 ∈ V
2725, 26phplem4 6318 . . . 4 ((𝑘 ∈ ω ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘𝑘 ≈ suc 𝑘))
2824, 27mpdan 398 . . 3 (𝑘 ∈ ω → (suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘𝑘 ≈ suc 𝑘))
2928con3d 561 . 2 (𝑘 ∈ ω → (¬ 𝑘 ≈ suc 𝑘 → ¬ suc 𝑘 ≈ suc suc 𝑘))
304, 8, 12, 16, 23, 29finds 4323 1 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ∅c0 3224   class class class wbr 3764  suc csuc 4102  ωcom 4313   ≈ cen 6219 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-er 6106  df-en 6222 This theorem is referenced by:  snnen2og  6322  php5dom  6325  php5fin  6339
 Copyright terms: Public domain W3C validator