Theorem snnen2og 6322

Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6323. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6093	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
2		php5 6321	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4		ensn1g 6277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5		df-2o 6002	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
6	5	eqcomi 2044	. . . 4 ⊢ suc 1𝑜 = 2𝑜
7	6	breq2i 3772	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8		ensymb 6260	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9		entr 6264	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
10	9	ex 108	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
11	8, 10	sylbi 114	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
12	11	con3rr3 563	. . 3 ⊢ (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
13	7, 12	sylnbi 603	. 2 ⊢ (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
14	3, 4, 13	mpsyl 59	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764  suc csuc 4102  ωcom 4313  1_𝑜c1o 5994  2_𝑜c2o 5995   ≈ cen 6219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-2o 6002  df-er 6106  df-en 6222

This theorem is referenced by: (None)