ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  snnen2og GIF version

Theorem snnen2og 6322
Description: A singleton {𝐴} is never equinumerous with the ordinal number 2. If 𝐴 is a proper class, see snnen2oprc 6323. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
snnen2og (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem snnen2og
StepHypRef Expression
1 1onn 6093 . . 3 1𝑜 ∈ ω
2 php5 6321 . . 3 (1𝑜 ∈ ω → ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜)
31, 2ax-mp 7 . 2 ¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜
4 ensn1g 6277 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
5 df-2o 6002 . . . . 5 2𝑜 = suc 1𝑜
65eqcomi 2044 . . . 4 suc 1𝑜 = 2𝑜
76breq2i 3772 . . 3 (1𝑜 ≈ suc 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
8 ensymb 6260 . . . . 5 ({𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≈ {𝐴})
9 entr 6264 . . . . . 6 ((1𝑜 ≈ {𝐴} ∧ {𝐴} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
109ex 108 . . . . 5 (1𝑜 ≈ {𝐴} → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
118, 10sylbi 114 . . . 4 ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
1211con3rr3 563 . . 3 (¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
137, 12sylnbi 603 . 2 (¬ 1𝑜 ≈ suc 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜))
143, 4, 13mpsyl 59 1 (𝐴𝑉 → ¬ {𝐴} ≈ 2𝑜)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1393  {csn 3375   class class class wbr 3764  suc csuc 4102  ωcom 4313  1𝑜c1o 5994  2𝑜c2o 5995  cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-1o 6001  df-2o 6002  df-er 6106  df-en 6222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator