ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem4 GIF version

Theorem phplem4 6318
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. Equinumerosity of successors implies equinumerosity of the original natural numbers. (Contributed by NM, 28-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1 𝐴 ∈ V
phplem2.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
phplem4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem phplem4
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6228 . 2 (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵)
2 f1of1 5125 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
32adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
4 phplem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
54sucex 4225 . . . . . . . . 9 suc 𝐵 ∈ V
6 sssucid 4152 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ suc 𝐴
7 phplem2.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
8 f1imaen2g 6273 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴𝐴 ∈ V)) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
96, 7, 8mpanr12 415 . . . . . . . . 9 ((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ V) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
103, 5, 9sylancl 392 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
1110ensymd 6263 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓𝐴))
12 nnord 4334 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
13 orddif 4271 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1412, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1514imaeq2d 4668 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
16 f1ofn 5127 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓 Fn suc 𝐴)
177sucid 4154 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ suc 𝐴
18 fnsnfv 5232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
1916, 17, 18sylancl 392 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2019difeq2d 3062 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
21 imadmrn 4678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
2221eqcomi 2044 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 = (𝑓 “ dom 𝑓)
23 f1ofo 5133 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵)
24 forn 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 → ran 𝑓 = suc 𝐵)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ran 𝑓 = suc 𝐵)
26 f1odm 5130 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → dom 𝑓 = suc 𝐴)
2726imaeq2d 4668 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓 “ suc 𝐴))
2822, 25, 273eqtr3a 2096 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → suc 𝐵 = (𝑓 “ suc 𝐴))
2928difeq1d 3061 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}))
30 dff1o3 5132 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 ∧ Fun 𝑓))
3130simprbi 260 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → Fun 𝑓)
32 imadif 4979 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3420, 29, 333eqtr4rd 2083 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
3515, 34sylan9eq 2092 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) = (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
3611, 35breqtrd 3788 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
37 fnfvelrn 5299 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓)
3816, 17, 37sylancl 392 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓)
3924eleq2d 2107 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 → ((𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵))
4023, 39syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ((𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵))
4138, 40mpbid 135 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵)
42 vex 2560 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
4342, 7fvex 5195 . . . . . . . . 9 (𝑓𝐴) ∈ V
444, 43phplem3 6317 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4541, 44sylan2 270 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4645ensymd 6263 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵)
47 entr 6264 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
4836, 46, 47syl2an 273 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵)) → 𝐴𝐵)
4948anandirs 527 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
5049ex 108 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝐴𝐵))
5150exlimdv 1700 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝐴𝐵))
521, 51syl5bi 141 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wex 1381  wcel 1393  Vcvv 2557  cdif 2914  wss 2917  {csn 3375   class class class wbr 3764  Ord word 4099  suc csuc 4102  ωcom 4313  ccnv 4344  dom cdm 4345  ran crn 4346  cima 4348  Fun wfun 4896   Fn wfn 4897  1-1wf1 4899  ontowfo 4900  1-1-ontowf1o 4901  cfv 4902  cen 6219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-er 6106  df-en 6222
This theorem is referenced by:  nneneq  6320  php5  6321
  Copyright terms: Public domain W3C validator