Theorem elsb4 1850

Description: Substitution applied to an atomic membership wff. (Contributed by Rodolfo Medina, 3-Apr-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 14-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elsb4	⊢ ([x / y]z ∈ y ↔ z ∈ x)

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem elsb4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1416	. . . . 5 ⊢ (z ∈ y → ∀w z ∈ y)
2		elequ2 1598	. . . . 5 ⊢ (w = y → (z ∈ w ↔ z ∈ y))
3	1, 2	sbieh 1670	. . . 4 ⊢ ([y / w]z ∈ w ↔ z ∈ y)
4	3	sbbii 1645	. . 3 ⊢ ([x / y][y / w]z ∈ w ↔ [x / y]z ∈ y)
5		ax-17 1416	. . . 4 ⊢ (z ∈ w → ∀y z ∈ w)
6	5	sbco2h 1835	. . 3 ⊢ ([x / y][y / w]z ∈ w ↔ [x / w]z ∈ w)
7	4, 6	bitr3i 175	. 2 ⊢ ([x / y]z ∈ y ↔ [x / w]z ∈ w)
8		equsb1 1665	. . . 4 ⊢ [x / w]w = x
9		elequ2 1598	. . . . 5 ⊢ (w = x → (z ∈ w ↔ z ∈ x))
10	9	sbimi 1644	. . . 4 ⊢ ([x / w]w = x → [x / w](z ∈ w ↔ z ∈ x))
11	8, 10	ax-mp 7	. . 3 ⊢ [x / w](z ∈ w ↔ z ∈ x)
12		sbbi 1830	. . 3 ⊢ ([x / w](z ∈ w ↔ z ∈ x) ↔ ([x / w]z ∈ w ↔ [x / w]z ∈ x))
13	11, 12	mpbi 133	. 2 ⊢ ([x / w]z ∈ w ↔ [x / w]z ∈ x)
14		ax-17 1416	. . 3 ⊢ (z ∈ x → ∀w z ∈ x)
15	14	sbh 1656	. 2 ⊢ ([x / w]z ∈ x ↔ z ∈ x)
16	7, 13, 15	3bitri 195	1 ⊢ ([x / y]z ∈ y ↔ z ∈ x)

Syntax hints:   ↔ wb 98  [wsb 1642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643

This theorem is referenced by:  peano2  4261