Theorem frec2uzltd 9189

Description: Less-than relation for G (see frec2uz0d 9185). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzzd.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzltd.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzltd	|- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzltd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzltd.b	. 2 |- ( ph -> B e. om )
2		eleq2 2101	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( A e. z <-> A e. (/) ) )
3		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( G ` z ) = ( G ` (/) ) )
4	3	breq2d 3776	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
5	2, 4	imbi12d 223	. . . 4 |- ( z = (/) -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) )
6	5	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = (/) -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) )
7		eleq2 2101	. . . . 5 |- ( z = y -> ( A e. z <-> A e. y ) )
8		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
9	8	breq2d 3776	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
10	7, 9	imbi12d 223	. . . 4 |- ( z = y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) )
11	10	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) )
12		eleq2 2101	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( A e. z <-> A e. suc y ) )
13		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = suc y -> ( G ` z ) = ( G ` suc y ) )
14	13	breq2d 3776	. . . . 5 |- ( z = suc y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 223	. . . 4 |- ( z = suc y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
16	15	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = suc y -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
17		eleq2 2101	. . . . 5 |- ( z = B -> ( A e. z <-> A e. B ) )
18		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = B -> ( G ` z ) = ( G ` B ) )
19	18	breq2d 3776	. . . . 5 |- ( z = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
20	17, 19	imbi12d 223	. . . 4 |- ( z = B -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
21	20	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = B -> ( ( ph -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) )
22		noel 3228	. . . . 5 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 575	. . . 4 |- ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) )
24	23	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) )
25		id 19	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) )
26		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) )
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) )
28	25, 27	orim12d 700	. . . . . 6 |- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
29		elsuc2g 4142	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) )
30	29	bicomd 129	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
31	30	adantr 261	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) )
32		frec2uz.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
33	32	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> C e. ZZ )
34		frec2uz.2	. . . . . . . . . 10 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
35		simpl 102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> y e. om )
36	33, 34, 35	frec2uzsucd 9187	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) )
37	36	breq2d 3776	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
38		frec2uzzd.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. om )
39	38	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> A e. om )
40	33, 34, 39	frec2uzuzd 9188	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) )
41	33, 34, 35	frec2uzuzd 9188	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) )
42		eluzelz 8482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
43		eluzelz 8482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
44		zleltp1 8299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
45	42, 43, 44	syl2an 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) )
47	33, 34, 39	frec2uzzd 9186	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` A ) e. ZZ )
48	33, 34, 35	frec2uzzd 9186	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
49		zleloe 8292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 391	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) )
51	37, 46, 50	3bitr2rd 206	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) )
52	31, 51	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
53	28, 52	syl5ib 143	. . . . 5 |- ( ( y e. om /\ ph ) -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) )
54	53	ex 108	. . . 4 |- ( y e. om -> ( ph -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
55	54	a2d 23	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( ph -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) -> ( ph -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) )
56	6, 11, 16, 21, 24, 55	finds 4323	. 2 |- ( B e. om -> ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) )
57	1, 56	mpcom 32	1 |- ( ph -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   (/)c0 3224   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   suc csuc 4102   omcom 4313   ` cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977   1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   <_ cle 7061   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  9190  frec2uzf1od  9192