Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrdg Unicode version

Theorem frec2uzrdg 9195
 Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either or ) with characteristic function and initial value . This lemma shows that evaluating at an element of gives an ordered pair whose first element is the index (translated from to ). See comment in frec2uz0d 9185 which describes and the index translation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1
frec2uz.2 frec
uzrdg.s
uzrdg.a
uzrdg.f
uzrdg.2 frec
uzrdg.b
Assertion
Ref Expression
frec2uzrdg
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem frec2uzrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzrdg.b . 2
2 fveq2 5178 . . . . 5
3 fveq2 5178 . . . . . 6
42fveq2d 5182 . . . . . 6
53, 4opeq12d 3557 . . . . 5
62, 5eqeq12d 2054 . . . 4
76imbi2d 219 . . 3
8 fveq2 5178 . . . . 5
9 fveq2 5178 . . . . . 6
108fveq2d 5182 . . . . . 6
119, 10opeq12d 3557 . . . . 5
128, 11eqeq12d 2054 . . . 4
13 fveq2 5178 . . . . 5
14 fveq2 5178 . . . . . 6
1513fveq2d 5182 . . . . . 6
1614, 15opeq12d 3557 . . . . 5
1713, 16eqeq12d 2054 . . . 4
18 fveq2 5178 . . . . 5
19 fveq2 5178 . . . . . 6
2018fveq2d 5182 . . . . . 6
2119, 20opeq12d 3557 . . . . 5
2218, 21eqeq12d 2054 . . . 4
23 uzrdg.2 . . . . . . 7 frec
2423fveq1i 5179 . . . . . 6 frec
25 frec2uz.1 . . . . . . . 8
26 uzrdg.a . . . . . . . 8
27 opexg 3964 . . . . . . . 8
2825, 26, 27syl2anc 391 . . . . . . 7
29 frec0g 5983 . . . . . . 7 frec
3028, 29syl 14 . . . . . 6 frec
3124, 30syl5eq 2084 . . . . 5
32 frec2uz.2 . . . . . . 7 frec
3325, 32frec2uz0d 9185 . . . . . 6
3431fveq2d 5182 . . . . . . 7
35 uzid 8487 . . . . . . . . 9
3625, 35syl 14 . . . . . . . 8
37 op2ndg 5778 . . . . . . . 8
3836, 26, 37syl2anc 391 . . . . . . 7
3934, 38eqtrd 2072 . . . . . 6
4033, 39opeq12d 3557 . . . . 5
4131, 40eqtr4d 2075 . . . 4
42 zex 8254 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 uzssz 8492 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4442, 43ssexi 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14
46 uzrdg.s . . . . . . . . . . . . . . 15
4746adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14
48 mpt2exga 5835 . . . . . . . . . . . . . 14
4945, 47, 48syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13
50 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . 14
5150a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13
52 fvexg 5194 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 51, 52syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12
5453alrimiv 1754 . . . . . . . . . . 11
5528adantr 261 . . . . . . . . . . 11
56 simpr 103 . . . . . . . . . . 11
57 frecsuc 5991 . . . . . . . . . . 11 frec frec
5854, 55, 56, 57syl3anc 1135 . . . . . . . . . 10 frec frec
5923fveq1i 5179 . . . . . . . . . 10 frec
6023fveq1i 5179 . . . . . . . . . . 11 frec
6160fveq2i 5181 . . . . . . . . . 10 frec
6258, 59, 613eqtr4g 2097 . . . . . . . . 9
6362adantr 261 . . . . . . . 8
64 fveq2 5178 . . . . . . . . 9
65 df-ov 5515 . . . . . . . . . 10
6625adantr 261 . . . . . . . . . . . 12
6766, 32, 56frec2uzuzd 9188 . . . . . . . . . . 11
68 uzrdg.f . . . . . . . . . . . . 13
6925, 32, 46, 26, 68, 23frecuzrdgrrn 9194 . . . . . . . . . . . 12
70 xp2nd 5793 . . . . . . . . . . . 12
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11
72 peano2uz 8526 . . . . . . . . . . . . 13
7367, 72syl 14 . . . . . . . . . . . 12
7468caovclg 5653 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13
7675, 67, 71caovcld 5654 . . . . . . . . . . . 12
77 opelxp 4374 . . . . . . . . . . . 12
7873, 76, 77sylanbrc 394 . . . . . . . . . . 11
79 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . 13
80 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80opeq12d 3557 . . . . . . . . . . . 12
82 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . 13
8382opeq2d 3556 . . . . . . . . . . . 12
84 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . 14
85 oveq1 5519 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85opeq12d 3557 . . . . . . . . . . . . 13
87 oveq2 5520 . . . . . . . . . . . . . 14
8887opeq2d 3556 . . . . . . . . . . . . 13
8986, 88cbvmpt2v 5584 . . . . . . . . . . . 12
9081, 83, 89ovmpt2g 5635 . . . . . . . . . . 11
9167, 71, 78, 90syl3anc 1135 . . . . . . . . . 10
9265, 91syl5eqr 2086 . . . . . . . . 9
9364, 92sylan9eqr 2094 . . . . . . . 8
9463, 93eqtrd 2072 . . . . . . 7
9566, 32, 56frec2uzsucd 9187 . . . . . . . . 9
9695adantr 261 . . . . . . . 8
9794fveq2d 5182 . . . . . . . . 9
9866, 32, 56frec2uzzd 9186 . . . . . . . . . . . 12
9998peano2zd 8363 . . . . . . . . . . 11
10099adantr 261 . . . . . . . . . 10
10176adantr 261 . . . . . . . . . 10
102 op2ndg 5778 . . . . . . . . . 10
103100, 101, 102syl2anc 391 . . . . . . . . 9
10497, 103eqtrd 2072 . . . . . . . 8
10596, 104opeq12d 3557 . . . . . . 7
10694, 105eqtr4d 2075 . . . . . 6
107106ex 108 . . . . 5
108107expcom 109 . . . 4
10912, 17, 22, 41, 108finds2 4324 . . 3
1107, 109vtoclga 2619 . 2
1111, 110mpcom 32 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1241   wceq 1243   wcel 1393  cvv 2557  c0 3224  cop 3378   cmpt 3818   csuc 4102  com 4313   cxp 4343  cfv 4902  (class class class)co 5512   cmpt2 5514  c2nd 5766  freccfrec 5977  c1 6890   caddc 6892  cz 8245  cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  9197  frecuzrdgfn  9198  frecuzrdgsuc  9201
 Copyright terms: Public domain W3C validator