ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrdg Structured version   Unicode version

Theorem frec2uzrdg 8856
Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either  NN or  NN0) with characteristic function 
F , and initial value . This lemma shows that evaluating  R at an element of  om gives an ordered pair whose first element is the index (translated from  om to  ZZ>= `  C). See comment in frec2uz0d 8846 which describes  G and the index translation. (Contributed by Jim Kingdon, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
uzrdg.s  S  V
uzrdg.a  S
uzrdg.f  ZZ>= `  C  S  F  S
uzrdg.2  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
uzrdg.b  om
Assertion
Ref Expression
frec2uzrdg  R `  <. G `
 ,  2nd `  R `  >.
Distinct variable groups:   ,   , C,   , G   , F,   , S,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)    R(,)    G()    V(,)

Proof of Theorem frec2uzrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzrdg.b . 2  om
2 fveq2 5121 . . . . 5  R `  R `
3 fveq2 5121 . . . . . 6  G `  G `
42fveq2d 5125 . . . . . 6  2nd `  R `  2nd `  R `
53, 4opeq12d 3548 . . . . 5  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
62, 5eqeq12d 2051 . . . 4  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
76imbi2d 219 . . 3  R `

<. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  <. G `
 ,  2nd `  R `  >.
8 fveq2 5121 . . . . 5  (/)  R `  R `  (/)
9 fveq2 5121 . . . . . 6  (/)  G `  G `  (/)
108fveq2d 5125 . . . . . 6  (/)  2nd `  R `  2nd `  R `
 (/)
119, 10opeq12d 3548 . . . . 5  (/)  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. G `  (/) ,  2nd `  R `  (/)
>.
128, 11eqeq12d 2051 . . . 4  (/)  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  (/)  <. G `  (/) ,  2nd `  R `  (/)
>.
13 fveq2 5121 . . . . 5  R `  R `
14 fveq2 5121 . . . . . 6  G `  G `
1513fveq2d 5125 . . . . . 6  2nd `  R `  2nd `  R `
1614, 15opeq12d 3548 . . . . 5  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
1713, 16eqeq12d 2051 . . . 4  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
18 fveq2 5121 . . . . 5  suc  R `  R `  suc
19 fveq2 5121 . . . . . 6  suc  G `  G `  suc
2018fveq2d 5125 . . . . . 6  suc  2nd `  R `
 2nd `  R `  suc
2119, 20opeq12d 3548 . . . . 5  suc  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. G `  suc  ,  2nd `  R `  suc  >.
2218, 21eqeq12d 2051 . . . 4  suc  R `  <. G `
 ,  2nd `  R `  >.  R `  suc  <. G `  suc  ,  2nd `  R `  suc  >.
23 uzrdg.2 . . . . . . 7  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
2423fveq1i 5122 . . . . . 6  R `
 (/) frec  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `  (/)
25 frec2uz.1 . . . . . . . 8  C  ZZ
26 uzrdg.a . . . . . . . 8  S
27 opexg 3955 . . . . . . . 8  C  ZZ  S  <. C ,  >.  _V
2825, 26, 27syl2anc 391 . . . . . . 7  <. C ,  >.  _V
29 frec0g 5922 . . . . . . 7  <. C ,  >.  _V frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  (/) 
<. C ,  >.
3028, 29syl 14 . . . . . 6 frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  (/) 
<. C ,  >.
3124, 30syl5eq 2081 . . . . 5  R `  (/) 
<. C ,  >.
32 frec2uz.2 . . . . . . 7  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
3325, 32frec2uz0d 8846 . . . . . 6  G `  (/)  C
3431fveq2d 5125 . . . . . . 7  2nd `  R `  (/)  2nd `  <. C ,  >.
35 uzid 8243 . . . . . . . . 9  C  ZZ  C  ZZ>= `  C
3625, 35syl 14 . . . . . . . 8  C  ZZ>= `  C
37 op2ndg 5720 . . . . . . . 8  C  ZZ>= `  C  S  2nd `  <. C ,  >.
3836, 26, 37syl2anc 391 . . . . . . 7  2nd `  <. C ,  >.
3934, 38eqtrd 2069 . . . . . 6  2nd `  R `  (/)
4033, 39opeq12d 3548 . . . . 5  <. G `  (/) ,  2nd `  R `  (/)
>.  <. C ,  >.
4131, 40eqtr4d 2072 . . . 4  R `  (/) 
<. G `  (/) ,  2nd `  R `  (/)
>.
42 zex 8010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  ZZ  _V
43 uzssz 8248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  ZZ>= `  C  C_  ZZ
4442, 43ssexi 3886 . . . . . . . . . . . . . . 15  ZZ>= `  C  _V
4544a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  om  ZZ>= `  C  _V
46 uzrdg.s . . . . . . . . . . . . . . 15  S  V
4746adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  om  S  V
48 mpt2exga 5777 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ>= `  C  _V  S  V  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V
4945, 47, 48syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . 13  om  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >.  _V
50 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 
_V
5150a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  om  _V
52 fvexg 5137 . . . . . . . . . . . . 13 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V  _V  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `

_V
5349, 51, 52syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  om  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. `  _V
5453alrimiv 1751 . . . . . . . . . . 11  om 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `

_V
5528adantr 261 . . . . . . . . . . 11  om  <. C ,  >.  _V
56 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  om  om
57 frecsuc 5930 . . . . . . . . . . 11  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. `  _V  <. C ,  >.  _V  om frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  suc  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `
5854, 55, 56, 57syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10  om frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `  suc  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ` frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `
5923fveq1i 5122 . . . . . . . . . 10  R `
 suc frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  suc
6023fveq1i 5122 . . . . . . . . . . 11  R `
frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `
6160fveq2i 5124 . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `  R `  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `
6258, 59, 613eqtr4g 2094 . . . . . . . . 9  om  R `  suc 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 R `
6362adantr 261 . . . . . . . 8  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  suc  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. `  R `
64 fveq2 5121 . . . . . . . . 9  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 R ` 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 <. G `  ,  2nd `  R `  >.
65 df-ov 5458 . . . . . . . . . 10  G ` 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 <. G `  ,  2nd `  R `  >.
6625adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  om  C  ZZ
6766, 32, 56frec2uzuzd 8849 . . . . . . . . . . 11  om  G `  ZZ>=
`  C
68 uzrdg.f . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  C  S  F  S
6925, 32, 46, 26, 68, 23frecuzrdgrrn 8855 . . . . . . . . . . . 12  om  R `  ZZ>= `  C  X.  S
70 xp2nd 5735 . . . . . . . . . . . 12  R `  ZZ>= `  C  X.  S  2nd `  R `  S
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11  om  2nd `  R `  S
72 peano2uz 8282 . . . . . . . . . . . . 13  G `  ZZ>= `  C  G `
 + 
1 
ZZ>= `  C
7367, 72syl 14 . . . . . . . . . . . 12  om  G `
 + 
1 
ZZ>= `  C
7468caovclg 5595 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ>= `  C  S  F  S
7574adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13  om  ZZ>= `  C  S  F  S
7675, 67, 71caovcld 5596 . . . . . . . . . . . 12  om  G `
 F 2nd `  R `  S
77 opelxp 4317 . . . . . . . . . . . 12  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.  ZZ>= `  C  X.  S  G `  +  1  ZZ>= `  C  G `
 F 2nd `  R `  S
7873, 76, 77sylanbrc 394 . . . . . . . . . . 11  om  <. G `
 + 
1 ,  G `  F 2nd `  R `  >.  ZZ>= `  C  X.  S
79 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13  G `  +  1  G `
 + 
1
80 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . 13  G `  F  G `  F
8179, 80opeq12d 3548 . . . . . . . . . . . 12  G `  <.  +  1 ,  F >.  <. G `  +  1 ,  G `
 F >.
82 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . 13  2nd `  R `  G `
 F  G `  F 2nd `  R `
8382opeq2d 3547 . . . . . . . . . . . 12  2nd `  R `  <. G `
 + 
1 ,  G `  F >. 
<. G `  +  1 ,  G `  F 2nd `  R `  >.
84 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  +  1  + 
1
85 oveq1 5462 . . . . . . . . . . . . . 14  F  F
8684, 85opeq12d 3548 . . . . . . . . . . . . 13  <.  +  1 ,  F >.  <.  +  1 ,  F >.
87 oveq2 5463 . . . . . . . . . . . . . 14  F  F
8887opeq2d 3547 . . . . . . . . . . . . 13  <.  +  1 ,  F >.  <.  +  1 ,  F >.
8986, 88cbvmpt2v 5526 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>.  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.
9081, 83, 89ovmpt2g 5577 . . . . . . . . . . 11  G `  ZZ>= `  C  2nd `  R `  S  <. G `
 + 
1 ,  G `  F 2nd `  R `  >.  ZZ>= `  C  X.  S  G ` 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.
9167, 71, 78, 90syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10  om  G `
 ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `
 <. G `  +  1 ,  G `  F 2nd `  R `  >.
9265, 91syl5eqr 2083 . . . . . . . . 9  om  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.
9364, 92sylan9eqr 2091 . . . . . . . 8  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 R `  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.
9463, 93eqtrd 2069 . . . . . . 7  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  suc  <. G `
 + 
1 ,  G `  F 2nd `  R `  >.
9566, 32, 56frec2uzsucd 8848 . . . . . . . . 9  om  G `  suc  G `  +  1
9695adantr 261 . . . . . . . 8  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  G `  suc  G `
 + 
1
9794fveq2d 5125 . . . . . . . . 9  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  2nd `  R `  suc  2nd `  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.
9866, 32, 56frec2uzzd 8847 . . . . . . . . . . . 12  om  G `  ZZ
9998peano2zd 8119 . . . . . . . . . . 11  om  G `
 + 
1  ZZ
10099adantr 261 . . . . . . . . . 10  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  G `  +  1  ZZ
10176adantr 261 . . . . . . . . . 10  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  G `  F 2nd `  R `  S
102 op2ndg 5720 . . . . . . . . . 10  G `  +  1  ZZ  G `  F 2nd `  R `  S  2nd `  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.  G `  F 2nd `  R `
103100, 101, 102syl2anc 391 . . . . . . . . 9  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  2nd `  <. G `
 + 
1 ,  G `  F 2nd `  R `  >.  G `  F 2nd `  R `
10497, 103eqtrd 2069 . . . . . . . 8  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  2nd `  R `  suc  G `  F 2nd `  R `
10596, 104opeq12d 3548 . . . . . . 7  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. G `  suc  ,  2nd `  R `  suc  >.  <. G `  +  1 ,  G `
 F 2nd `  R `  >.
10694, 105eqtr4d 2072 . . . . . 6  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  suc  <. G `  suc  ,  2nd `  R `
 suc  >.
107106ex 108 . . . . 5  om  R `

<. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  suc  <. G `  suc  ,  2nd `  R `
 suc  >.
108107expcom 109 . . . 4  om  R `

<. G `  ,  2nd `  R `  >.  R `  suc  <. G `  suc  ,  2nd `  R `
 suc  >.
10912, 17, 22, 41, 108finds2 4267 . . 3  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
1107, 109vtoclga 2613 . 2  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
1111, 110mpcom 32 1  R `  <. G `
 ,  2nd `  R `  >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   <.cop 3370    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256    X. cxp 4286   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457   2ndc2nd 5708  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  frecuzrdglem  8858  frecuzrdgfn  8859  frecuzrdgsuc  8862
  Copyright terms: Public domain W3C validator