ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgcl Unicode version

Theorem frecuzrdgcl 8880
Description: Closure law for the recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 8866 for the description of  G as the mapping from 
om to  ZZ>= `  C. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
uzrdg.s  S  V
uzrdg.a  S
uzrdg.f  ZZ>= `  C  S  F  S
uzrdg.2  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
frecuzrdgfn.3  T  ran  R
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgcl 
ZZ>= `  C  T `  S
Distinct variable groups:   ,   , C,   , G   , F,   , S,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()    R(,)    T(,)    G()    V(,)

Proof of Theorem frecuzrdgcl
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . . . 6  C  ZZ
21adantr 261 . . . . 5 
ZZ>= `  C  C  ZZ
3 frec2uz.2 . . . . 5  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
4 uzrdg.s . . . . . 6  S  V
54adantr 261 . . . . 5 
ZZ>= `  C  S  V
6 uzrdg.a . . . . . 6  S
76adantr 261 . . . . 5 
ZZ>= `  C  S
8 uzrdg.f . . . . . 6  ZZ>= `  C  S  F  S
98adantlr 446 . . . . 5  ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  S  F  S
10 uzrdg.2 . . . . 5  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
11 simpr 103 . . . . 5 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C
122, 3, 5, 7, 9, 10, 11frecuzrdglem 8878 . . . 4 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  ran  R
13 frecuzrdgfn.3 . . . . 5  T  ran  R
1413adantr 261 . . . 4 
ZZ>= `  C  T  ran  R
1512, 14eleqtrrd 2114 . . 3 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T
161, 3, 4, 6, 8, 10, 13frecuzrdgfn 8879 . . . . 5  T  Fn  ZZ>= `  C
17 fnfun 4939 . . . . 5  T  Fn  ZZ>= `  C  Fun  T
18 funopfv 5156 . . . . 5  Fun 
T  <. ,  2nd `  R `  `' G `  >.  T  T `  2nd `  R `  `' G `
1916, 17, 183syl 17 . . . 4  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  T `  2nd `  R `  `' G `
2019adantr 261 . . 3 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  T `  2nd `  R `  `' G `
2115, 20mpd 13 . 2 
ZZ>= `  C  T `  2nd `  R `  `' G `
221, 3frec2uzf1od 8873 . . . . 5  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C
23 f1ocnvdm 5364 . . . . 5  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  `' G `  om
2422, 23sylan 267 . . . 4 
ZZ>= `  C  `' G `  om
251, 3, 4, 6, 8, 10frecuzrdgrrn 8875 . . . 4  `' G `  om  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S
2624, 25syldan 266 . . 3 
ZZ>= `  C  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S
27 xp2nd 5735 . . 3  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S  2nd `  R `  `' G `  S
2826, 27syl 14 . 2 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  `' G `  S
2921, 28eqeltrd 2111 1 
ZZ>= `  C  T `  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   <.cop 3370    |-> cmpt 3809   omcom 4256    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   ran crn 4289   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457   2ndc2nd 5708  freccfrec 5917   1c1 6712    + caddc 6714   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by:  iseqcl  8903
  Copyright terms: Public domain W3C validator