Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecrdg Unicode version

Theorem frecrdg 5992
 Description: Transfinite recursion restricted to omega. Given a suitable characteristic function, df-frec 5978 produces the same results as df-irdg 5957 restricted to . Presumably the theorem would also hold if were changed to . (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frecrdg.1
frecrdg.2
frecrdg.inc
Assertion
Ref Expression
frecrdg frec
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem frecrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecrdg.1 . . . 4
2 vex 2560 . . . . . 6
3 funfvex 5192 . . . . . . 7
43funfni 4999 . . . . . 6
52, 4mpan2 401 . . . . 5
65alrimiv 1754 . . . 4
71, 6syl 14 . . 3
8 frecrdg.2 . . 3
9 frecfnom 5986 . . 3 frec
107, 8, 9syl2anc 391 . 2 frec
11 rdgifnon2 5967 . . . 4
127, 8, 11syl2anc 391 . . 3
13 omsson 4335 . . 3
14 fnssres 5012 . . 3
1512, 13, 14sylancl 392 . 2
16 fveq2 5178 . . . . 5 frec frec
17 fveq2 5178 . . . . 5
1816, 17eqeq12d 2054 . . . 4 frec frec
19 fveq2 5178 . . . . 5 frec frec
20 fveq2 5178 . . . . 5
2119, 20eqeq12d 2054 . . . 4 frec frec
22 fveq2 5178 . . . . 5 frec frec
23 fveq2 5178 . . . . 5
2422, 23eqeq12d 2054 . . . 4 frec frec
25 frec0g 5983 . . . . . 6 frec
268, 25syl 14 . . . . 5 frec
27 peano1 4317 . . . . . . 7
28 fvres 5198 . . . . . . 7
2927, 28ax-mp 7 . . . . . 6
30 rdg0g 5975 . . . . . . 7
318, 30syl 14 . . . . . 6
3229, 31syl5eq 2084 . . . . 5
3326, 32eqtr4d 2075 . . . 4 frec
34 simpr 103 . . . . . . . . . 10 frec frec
35 fvres 5198 . . . . . . . . . . 11
3635ad2antlr 458 . . . . . . . . . 10 frec
3734, 36eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 frec frec
3837fveq2d 5182 . . . . . . . 8 frec frec
397, 8jca 290 . . . . . . . . . 10
40 frecsuc 5991 . . . . . . . . . . 11 frec frec
41403expa 1104 . . . . . . . . . 10 frec frec
4239, 41sylan 267 . . . . . . . . 9 frec frec
4342adantr 261 . . . . . . . 8 frec frec frec
441adantr 261 . . . . . . . . . 10
458adantr 261 . . . . . . . . . 10
46 simpr 103 . . . . . . . . . . 11
47 nnon 4332 . . . . . . . . . . 11
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . 10
49 frecrdg.inc . . . . . . . . . . 11
5049adantr 261 . . . . . . . . . 10
5144, 45, 48, 50rdgisucinc 5972 . . . . . . . . 9
5251adantr 261 . . . . . . . 8 frec
5338, 43, 523eqtr4d 2082 . . . . . . 7 frec frec
54 peano2 4318 . . . . . . . . 9
55 fvres 5198 . . . . . . . . 9
5654, 55syl 14 . . . . . . . 8
5756ad2antlr 458 . . . . . . 7 frec
5853, 57eqtr4d 2075 . . . . . 6 frec frec
5958ex 108 . . . . 5 frec frec
6059expcom 109 . . . 4 frec frec
6118, 21, 24, 33, 60finds2 4324 . . 3 frec
6261impcom 116 . 2 frec
6310, 15, 62eqfnfvd 5268 1 frec
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1241   wceq 1243   wcel 1393  cvv 2557   wss 2917  c0 3224  con0 4100   csuc 4102  com 4313   cres 4347   wfn 4897  cfv 4902  crdg 5956  freccfrec 5977 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator