ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecrdg Structured version   Unicode version

Theorem frecrdg 5931
Description: Transfinite recursion restricted to omega.

Given a suitable characteristic function, df-frec 5918 produces the same results as df-irdg 5897 restricted to  om.

Presumably the theorem would also hold if  F  Fn  _V were changed to  F `  _V. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Aug-2019.)

Hypotheses
Ref Expression
frecrdg.1  F  Fn  _V
frecrdg.2  V
frecrdg.inc  C_  F `
Assertion
Ref Expression
frecrdg frec F ,  rec F ,  |`  om
Distinct variable groups:   ,   , F   , V   ,

Proof of Theorem frecrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecrdg.1 . . . 4  F  Fn  _V
2 vex 2554 . . . . . 6 
_V
3 funfvex 5135 . . . . . . 7  Fun  F  dom  F  F `  _V
43funfni 4942 . . . . . 6  F  Fn  _V  _V  F `  _V
52, 4mpan2 401 . . . . 5  F  Fn  _V  F `  _V
65alrimiv 1751 . . . 4  F  Fn  _V  F `  _V
71, 6syl 14 . . 3  F `

_V
8 frecrdg.2 . . 3  V
9 frecfnom 5925 . . 3  F `  _V  V frec F ,  Fn  om
107, 8, 9syl2anc 391 . 2 frec F ,  Fn  om
11 rdgifnon2 5907 . . . 4  F `  _V  V  rec F ,  Fn  On
127, 8, 11syl2anc 391 . . 3  rec F ,  Fn  On
13 omsson 4278 . . 3  om  C_  On
14 fnssres 4955 . . 3  rec F ,  Fn  On 
om  C_  On  rec F ,  |`  om  Fn  om
1512, 13, 14sylancl 392 . 2  rec F ,  |`  om  Fn  om
16 fveq2 5121 . . . . 5  (/) frec F ,  `
frec F ,  `  (/)
17 fveq2 5121 . . . . 5  (/)  rec F ,  |`  om `  rec F ,  |`  om `  (/)
1816, 17eqeq12d 2051 . . . 4  (/) frec F ,  `  rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `  (/)  rec F ,  |` 
om `  (/)
19 fveq2 5121 . . . . 5 frec F ,  `
frec F ,  `
20 fveq2 5121 . . . . 5  rec F ,  |`  om `  rec F ,  |`  om `
2119, 20eqeq12d 2051 . . . 4 frec F ,  `  rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `  rec F ,  |`  om `
22 fveq2 5121 . . . . 5  suc frec F ,  ` frec F ,  `  suc
23 fveq2 5121 . . . . 5  suc  rec F ,  |`  om `  rec F ,  |`  om `  suc
2422, 23eqeq12d 2051 . . . 4  suc frec F ,  `  rec F ,  |`  om ` frec F ,  `  suc  rec F ,  |` 
om `  suc
25 frec0g 5922 . . . . . 6  V frec F ,  `
 (/)
268, 25syl 14 . . . . 5 frec F ,  `  (/)
27 peano1 4260 . . . . . . 7  (/)  om
28 fvres 5141 . . . . . . 7  (/)  om  rec F ,  |`  om `  (/)  rec F ,  `  (/)
2927, 28ax-mp 7 . . . . . 6  rec F ,  |`  om `  (/)  rec F ,  `  (/)
30 rdg0g 5915 . . . . . . 7  V  rec F ,  `  (/)
318, 30syl 14 . . . . . 6  rec F ,  `  (/)
3229, 31syl5eq 2081 . . . . 5  rec F ,  |` 
om `  (/)
3326, 32eqtr4d 2072 . . . 4 frec F ,  `  (/)  rec F ,  |` 
om `  (/)
34 simpr 103 . . . . . . . . . 10  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om `
35 fvres 5141 . . . . . . . . . . 11  om  rec F ,  |`  om `  rec F ,  `
3635ad2antlr 458 . . . . . . . . . 10  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om `  rec F ,  |`  om `  rec F ,  `
3734, 36eqtrd 2069 . . . . . . . . 9  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `
 rec F ,  `
3837fveq2d 5125 . . . . . . . 8  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om `  F ` frec F ,  `  F `  rec F ,  `
397, 8jca 290 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V
40 frecsuc 5930 . . . . . . . . . . 11  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  F ` frec F ,  `
41403expa 1103 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om frec F ,  `
 suc  F ` frec F ,  `
4239, 41sylan 267 . . . . . . . . 9  om frec F ,  `  suc  F ` frec F ,  `
4342adantr 261 . . . . . . . 8  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `
 suc  F ` frec F ,  `
441adantr 261 . . . . . . . . . 10  om  F  Fn  _V
458adantr 261 . . . . . . . . . 10  om  V
46 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  om  om
47 nnon 4275 . . . . . . . . . . 11  om  On
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . 10  om  On
49 frecrdg.inc . . . . . . . . . . 11  C_  F `
5049adantr 261 . . . . . . . . . 10  om 
C_  F `
5144, 45, 48, 50rdgisucinc 5912 . . . . . . . . 9  om  rec F ,  `  suc  F `  rec F ,  `
5251adantr 261 . . . . . . . 8  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om `  rec F ,  `  suc  F `  rec F ,  `
5338, 43, 523eqtr4d 2079 . . . . . . 7  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `
 suc  rec F ,  `  suc
54 peano2 4261 . . . . . . . . 9  om  suc  om
55 fvres 5141 . . . . . . . . 9  suc  om  rec F ,  |`  om `  suc  rec F ,  `
 suc
5654, 55syl 14 . . . . . . . 8  om  rec F ,  |`  om `  suc  rec F ,  `  suc
5756ad2antlr 458 . . . . . . 7  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om `  rec F ,  |`  om `  suc  rec F ,  `  suc
5853, 57eqtr4d 2072 . . . . . 6  om frec F ,  `
 rec F ,  |` 
om ` frec F ,  `
 suc  rec F ,  |` 
om `  suc
5958ex 108 . . . . 5  om frec F ,  `  rec F ,  |`  om ` frec F ,  `  suc  rec F ,  |`  om `  suc
6059expcom 109 . . . 4  om frec F ,  `  rec F ,  |`  om ` frec F ,  `  suc  rec F ,  |`  om `  suc
6118, 21, 24, 33, 60finds2 4267 . . 3  om frec F ,  `  rec F ,  |`  om `
6261impcom 116 . 2  om frec F ,  `  rec F ,  |`  om `
6310, 15, 62eqfnfvd 5211 1 frec F ,  rec F ,  |`  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   (/)c0 3218   Oncon0 4066   suc csuc 4068   omcom 4256    |` cres 4290    Fn wfn 4840   ` cfv 4845   reccrdg 5896  freccfrec 5917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator