Theorem peano2b 4337

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	|- ( A e. om <-> suc A e. om )

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4318	. 2 |- ( A e. om -> suc A e. om )
2		elex 2566	. . . . 5 |- ( suc A e. om -> suc A e. _V )
3		sucexb 4223	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
4	2, 3	sylibr 137	. . . 4 |- ( suc A e. om -> A e. _V )
5		sucidg 4153	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. om -> A e. suc A )
7		elnn 4328	. . 3 |- ( ( A e. suc A /\ suc A e. om ) -> A e. om )
8	6, 7	mpancom 399	. 2 |- ( suc A e. om -> A e. om )
9	1, 8	impbii 117	1 |- ( A e. om <-> suc A e. om )

Syntax hints:   <-> wb 98   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  nnmsucr  6067