ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecsuclem3 Structured version   Unicode version

Theorem frecsuclem3 5929
Description: Lemma for frecsuc 5930. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
frecsuclem1.h  G  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
Assertion
Ref Expression
frecsuclem3  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  F ` frec F ,  `
Distinct variable groups:   ,, m,,   ,, m,,   , F, m,,   , G, m,,   , V, m,
Allowed substitution hint:    V()

Proof of Theorem frecsuclem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2037 . . . . . . . . . . . . 13 recs G recs G
2 frecsuclem1.h . . . . . . . . . . . . . 14  G  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
32frectfr 5924 . . . . . . . . . . . . 13  F `  _V  V  Fun 
G  G `  _V
41, 3tfri1d 5890 . . . . . . . . . . . 12  F `  _V  V recs G  Fn  On
5 fnfun 4939 . . . . . . . . . . . 12 recs G  Fn  On  Fun recs G
64, 5syl 14 . . . . . . . . . . 11  F `  _V  V  Fun recs G
763adant3 923 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om  Fun recs G
8 peano2 4261 . . . . . . . . . . 11  om  suc  om
983ad2ant3 926 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om  suc  om
10 resfunexg 5325 . . . . . . . . . 10  Fun recs G  suc  om recs G  |`  suc  _V
117, 9, 10syl2anc 391 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om recs G  |`  suc 
_V
12 simp1 903 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om  F `

_V
13 simp2 904 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om  V
1411, 12, 13frecabex 5923 . . . . . . . 8  F `  _V  V  om  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }  _V
15 dmeq 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 recs G  |`  suc  dom  dom recs G  |`  suc
1615eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 recs G  |`  suc  dom 
suc  m  dom recs G  |`  suc  suc  m
17 fveq1 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 recs G  |`  suc  `  m recs G  |`  suc  `  m
1817fveq2d 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 recs G  |`  suc  F `  `  m  F ` recs G  |`  suc  `  m
1918eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 recs G  |`  suc  F `  `
 m  F `
recs G  |`  suc  `  m
2016, 19anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 recs G  |`  suc  dom  suc  m  F `  `  m  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m
2120rexbidv 2321 . . . . . . . . . . . . . 14 recs G  |`  suc  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m
2215eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . . 15 recs G  |`  suc  dom  (/)  dom recs G  |`  suc  (/)
2322anbi1d 438 . . . . . . . . . . . . . 14 recs G  |`  suc  dom  (/)  dom recs G  |`  suc  (/)
2421, 23orbi12d 706 . . . . . . . . . . . . 13 recs G  |`  suc  m  om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  m  om  dom recs G  |`  suc 
suc  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  dom recs G  |`  suc  (/)
2524abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12 recs G  |`  suc  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
2625, 2fvmptg 5191 . . . . . . . . . . 11 recs G  |`  suc 
_V  {  |  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }  _V  G ` recs G  |`  suc  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
2726ex 108 . . . . . . . . . 10 recs G  |`  suc  _V  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }  _V  G ` recs G  |`  suc  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc 
suc  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
2811, 27syl 14 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }  _V  G ` recs G  |`  suc  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc 
suc  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
292frecsuclem1 5926 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  G ` recs G  |`  suc
3029eqeq1d 2045 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc 
suc  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  dom recs G  |`  suc  (/)  }  G `
recs G  |`  suc  {  |  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
3128, 30sylibrd 158 . . . . . . . 8  F `  _V  V  om  {  |  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }  _V frec F ,  `  suc  {  |  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
3214, 31mpd 13 . . . . . . 7  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  {  |  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  }
3332abeq2d 2147 . . . . . 6  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)
342frecsuclemdm 5927 . . . . . . . . . . 11  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  suc
35 peano3 4262 . . . . . . . . . . . 12  om  suc  =/=  (/)
36353ad2ant3 926 . . . . . . . . . . 11  F `  _V  V  om  suc  =/=  (/)
3734, 36eqnetrd 2223 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  =/=  (/)
3837neneqd 2221 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  (/)
3938intnanrd 840 . . . . . . . 8  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  (/)
40 biorf 662 . . . . . . . 8  dom recs G  |`  suc  (/)  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m
4139, 40syl 14 . . . . . . 7  F `  _V  V  om  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m
42 orcom 646 . . . . . . 7  dom recs G  |`  suc  (/)  m  om  dom recs G  |`  suc 
suc  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  m  om  dom recs G  |`  suc 
suc  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  dom recs G  |`  suc  (/)
4341, 42syl6bb 185 . . . . . 6  F `  _V  V  om  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  m  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  dom recs G  |`  suc  (/)
4434eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  suc  suc  m
45 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12  m 
_V
46 suc11g 4235 . . . . . . . . . . . 12  om  m  _V  suc  suc  m  m
4745, 46mpan2 401 . . . . . . . . . . 11  om  suc  suc  m  m
48473ad2ant3 926 . . . . . . . . . 10  F `  _V  V  om  suc  suc  m  m
4944, 48bitrd 177 . . . . . . . . 9  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  m
50 eqcom 2039 . . . . . . . . 9  m  m
5149, 50syl6bb 185 . . . . . . . 8  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  m
5251anbi1d 438 . . . . . . 7  F `  _V  V  om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  m  F ` recs G  |`  suc  `  m
5352rexbidv 2321 . . . . . 6  F `  _V  V  om  m 
om  dom recs G  |`  suc  suc  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  m 
om  m  F ` recs G  |`  suc  `  m
5433, 43, 533bitr2d 205 . . . . 5  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  m  om  m  F ` recs G  |`  suc  `  m
55 fveq2 5121 . . . . . . . 8  m recs G  |`  suc  `  m recs G  |`  suc  `
5655fveq2d 5125 . . . . . . 7  m  F ` recs G  |`  suc  `  m  F ` recs G  |`  suc  `
5756eleq2d 2104 . . . . . 6  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  F `
recs G  |`  suc  `
5857ceqsrexbv 2669 . . . . 5  m  om  m  F ` recs G  |`  suc  `
 m  om  F ` recs G  |`  suc  `
5954, 58syl6bb 185 . . . 4  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  om  F `
recs G  |`  suc  `
60593anibar 1071 . . 3  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  F `
recs G  |`  suc  `
6160eqrdv 2035 . 2  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  F ` recs G  |`  suc  `
622frecsuclem2 5928 . . 3  F `  _V  V  om recs G  |`  suc  `
frec F ,  `
6362fveq2d 5125 . 2  F `  _V  V  om  F ` recs G  |`  suc  `  F ` frec F ,  `
6461, 63eqtrd 2069 1  F `  _V  V  om frec F ,  `  suc  F ` frec F ,  `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023    =/= wne 2201  wrex 2301   _Vcvv 2551   (/)c0 3218    |-> cmpt 3809   Oncon0 4066   suc csuc 4068   omcom 4256   dom cdm 4288    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  recscrecs 5860  freccfrec 5917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-frec 5918
This theorem is referenced by:  frecsuc  5930
  Copyright terms: Public domain W3C validator