ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frectfr Unicode version

Theorem frectfr 5924
Description: Lemma to connect transfinite recursion theorems with finite recursion. That is, given the conditions  F  Fn  _V and  V on frec F , , we want to be able to apply tfri1d 5890 or tfri2d 5891, and this lemma lets us satisfy hypotheses of those theorems.

(Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)

Hypothesis
Ref Expression
frectfr.1  G  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
Assertion
Ref Expression
frectfr  F `  _V  V  Fun 
G  G `  _V
Distinct variable groups:   , m,,,   ,, F, m,,   , V, m,
Allowed substitution hints:   ()    G(,,,, m)    V(,)

Proof of Theorem frectfr
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
21a1i 9 . . . . . . 7  F `  _V  V  _V
3 simpl 102 . . . . . . 7  F `  _V  V  F `

_V
4 simpr 103 . . . . . . 7  F `  _V  V  V
52, 3, 4frecabex 5923 . . . . . 6  F `  _V  V  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }  _V
65ralrimivw 2387 . . . . 5  F `  _V  V  _V  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  _V
7 frectfr.1 . . . . . 6  G  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
87fnmpt 4968 . . . . 5  _V  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  _V  G  Fn  _V
96, 8syl 14 . . . 4  F `  _V  V  G  Fn  _V
10 vex 2554 . . . 4 
_V
11 funfvex 5135 . . . . 5  Fun  G  dom  G  G `  _V
1211funfni 4942 . . . 4  G  Fn  _V  _V  G `  _V
139, 10, 12sylancl 392 . . 3  F `  _V  V  G `  _V
147funmpt2 4882 . . 3  Fun  G
1513, 14jctil 295 . 2  F `  _V  V  Fun  G  G `  _V
1615alrimiv 1751 1  F `  _V  V  Fun 
G  G `  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551   (/)c0 3218    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256   dom cdm 4288   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  frecfnom  5925  frecsuclem1  5926  frecsuclemdm  5927  frecsuclem3  5929
  Copyright terms: Public domain W3C validator