Theorem frecabex 5984

Description: The class abstraction from df-frec 5978 exists. This is a lemma for other finite recursion proofs. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecabex.sex	|- ( ph -> S e. V )
frecabex.fvex	|- ( ph -> A. y ( F ` y ) e. _V )
frecabex.aex	|- ( ph -> A e. W )

Assertion

Ref	Expression
frecabex	|- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, S, y   ph, m   x, m, y   y, F

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y, m)   S( m)   F( m)   V( x, y, m)   W( x, y, m)

Proof of Theorem frecabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4316	. . . 4 |- om e. _V
2		simpr 103	. . . . . . 7 |- ( ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) -> x e. ( F ` ( S ` m ) ) )
3	2	abssi 3015	. . . . . 6 |- { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } C_ ( F ` ( S ` m ) )
4		frecabex.sex	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. V )
5		vex 2560	. . . . . . . 8 |- m e. _V
6		fvexg 5194	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ m e. _V ) -> ( S ` m ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S ` m ) e. _V )
8		frecabex.fvex	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ( F ` y ) e. _V )
9		fveq2 5178	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( S ` m ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( S ` m ) ) )
10	9	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 |- ( y = ( S ` m ) -> ( ( F ` y ) e. _V <-> ( F ` ( S ` m ) ) e. _V ) )
11	10	spcgv 2640	. . . . . . 7 |- ( ( S ` m ) e. _V -> ( A. y ( F ` y ) e. _V -> ( F ` ( S ` m ) ) e. _V ) )
12	7, 8, 11	sylc 56	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( S ` m ) ) e. _V )
13		ssexg 3896	. . . . . 6 |- ( ( { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } C_ ( F ` ( S ` m ) ) /\ ( F ` ( S ` m ) ) e. _V ) -> { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
14	3, 12, 13	sylancr 393	. . . . 5 |- ( ph -> { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
15	14	ralrimivw 2393	. . . 4 |- ( ph -> A. m e. om { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
16		abrexex2g 5747	. . . 4 |- ( ( om e. _V /\ A. m e. om { x | ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V ) -> { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
17	1, 15, 16	sylancr 393	. . 3 |- ( ph -> { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V )
18		simpr 103	. . . . 5 |- ( ( dom S = (/) /\ x e. A ) -> x e. A )
19	18	abssi 3015	. . . 4 |- { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } C_ A
20		frecabex.aex	. . . 4 |- ( ph -> A e. W )
21		ssexg 3896	. . . 4 |- ( ( { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } C_ A /\ A e. W ) -> { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V )
22	19, 20, 21	sylancr 393	. . 3 |- ( ph -> { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V )
23	17, 22	jca 290	. 2 |- ( ph -> ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V /\ { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V ) )
24		unexb 4177	. . 3 |- ( ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V /\ { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V ) <-> ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } u. { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } ) e. _V )
25		unab 3204	. . . 4 |- ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } u. { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } ) = { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) }
26	25	eleq1i 2103	. . 3 |- ( ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } u. { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } ) e. _V <-> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )
27	24, 26	bitri 173	. 2 |- ( ( { x | E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) } e. _V /\ { x | ( dom S = (/) /\ x e. A ) } e. _V ) <-> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )
28	23, 27	sylib 127	1 |- ( ph -> { x | ( E. m e. om ( dom S = suc m /\ x e. ( F ` ( S ` m ) ) ) \/ ( dom S = (/) /\ x e. A ) ) } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   u. cun 2915   C_ wss 2917   (/)c0 3224   suc csuc 4102   omcom 4313   dom cdm 4345   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  frectfr  5985  frecsuclem3  5990