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Theorem frec0g 5922
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by Jim Kingdon, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
frec0g  V frec F ,  `
 (/)

Proof of Theorem frec0g
Dummy variables  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dm0 4492 . . . . . . . . . 10  dom  (/)  (/)
21biantrur 287 . . . . . . . . 9  dom  (/)  (/)
3 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  m 
_V
4 nsuceq0g 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  m  _V  suc  m  =/=  (/)
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15  suc  m  =/=  (/)
65nesymi 2245 . . . . . . . . . . . . . 14  (/)  suc  m
71eqeq1i 2044 . . . . . . . . . . . . . 14  dom  (/)  suc  m  (/)  suc  m
86, 7mtbir 595 . . . . . . . . . . . . 13  dom  (/)  suc  m
98intnanr 838 . . . . . . . . . . . 12  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m
1110nrex 2405 . . . . . . . . . 10  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m
1211biorfi 664 . . . . . . . . 9  dom  (/)  (/)  dom  (/)  (/)  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m
13 orcom 646 . . . . . . . . 9  dom  (/)  (/)  m 
om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)
142, 12, 133bitri 195 . . . . . . . 8  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)
1514abbii 2150 . . . . . . 7  {  |  }  {  |  m 
om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }
16 abid2 2155 . . . . . . 7  {  |  }
1715, 16eqtr3i 2059 . . . . . 6  {  |  m 
om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }
18 elex 2560 . . . . . 6  V  _V
1917, 18syl5eqel 2121 . . . . 5  V  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }  _V
20 0ex 3875 . . . . . . 7  (/)  _V
21 dmeq 4478 . . . . . . . . . . . . 13  (/)  dom  dom  (/)
2221eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . 12  (/)  dom  suc  m  dom  (/)  suc  m
23 fveq1 5120 . . . . . . . . . . . . . 14  (/)  `  m  (/) `  m
2423fveq2d 5125 . . . . . . . . . . . . 13  (/)  F `  `  m  F `  (/) `  m
2524eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . 12  (/)  F `  `  m  F `  (/) `  m
2622, 25anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  (/)  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m
2726rexbidv 2321 . . . . . . . . . 10  (/)  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  m 
om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m
2821eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . 11  (/)  dom  (/)  dom  (/)  (/)
2928anbi1d 438 . . . . . . . . . 10  (/)  dom  (/)  dom  (/)  (/)
3027, 29orbi12d 706 . . . . . . . . 9  (/)  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)
3130abbidv 2152 . . . . . . . 8  (/)  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }
32 eqid 2037 . . . . . . . 8  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
3331, 32fvmptg 5191 . . . . . . 7  (/)  _V  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }  _V  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }
3420, 33mpan 400 . . . . . 6  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }  _V  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  } `  (/)  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }
3534, 17syl6eq 2085 . . . . 5  {  |  m  om  dom  (/)  suc  m  F `  (/) `  m  dom  (/)  (/)  }  _V  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  } `  (/)
3619, 35syl 14 . . . 4  V  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
3736, 18eqeltrd 2111 . . 3  V  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)  _V
38 df-frec 5918 . . . . . 6 frec F , recs  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  |`  om
3938fveq1i 5122 . . . . 5 frec F ,  `  (/) recs  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  |`  om `  (/)
40 peano1 4260 . . . . . 6  (/)  om
41 fvres 5141 . . . . . 6  (/)  om recs 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }  |`  om `  (/) recs 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
4240, 41ax-mp 7 . . . . 5 recs 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }  |`  om `  (/) recs 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
4339, 42eqtri 2057 . . . 4 frec F ,  `  (/) recs 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
44 eqid 2037 . . . . 5 recs  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  } recs  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
4544tfr0 5878 . . . 4  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)  _V recs  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  } `  (/) 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
4643, 45syl5eq 2081 . . 3  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)  _V frec F ,  `  (/) 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
4737, 46syl 14 . 2  V frec F ,  `
 (/)  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } `  (/)
4847, 36eqtrd 2069 1  V frec F ,  `
 (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023    =/= wne 2201  wrex 2301   _Vcvv 2551   (/)c0 3218    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256   dom cdm 4288    |` cres 4290   ` cfv 4845  recscrecs 5860  freccfrec 5917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-recs 5861  df-frec 5918
This theorem is referenced by:  frecrdg  5931  freccl  5932  frec2uz0d  8866  frec2uzrdg  8876  frecuzrdg0  8881
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