ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  freccl Unicode version

Theorem freccl 5932
Description: Closure for finite recursion. (Contributed by Jim Kingdon, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
freccl.ex  F `

_V
freccl.a  S
freccl.cl  S  F `  S
freccl.b  om
Assertion
Ref Expression
freccl frec F ,  `  S
Distinct variable groups:   ,   , F   , S   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem freccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freccl.b . 2  om
2 fveq2 5121 . . . . 5 frec F ,  `
frec F ,  `
32eleq1d 2103 . . . 4 frec F ,  `  S frec F ,  `  S
43imbi2d 219 . . 3 frec F ,  `  S frec F ,  `
 S
5 fveq2 5121 . . . . 5  (/) frec F ,  `
frec F ,  `  (/)
65eleq1d 2103 . . . 4  (/) frec F ,  `  S frec F ,  `  (/)  S
7 fveq2 5121 . . . . 5 frec F ,  `
frec F ,  `
87eleq1d 2103 . . . 4 frec F ,  `  S frec F ,  `  S
9 fveq2 5121 . . . . 5  suc frec F ,  ` frec F ,  `  suc
109eleq1d 2103 . . . 4  suc frec F ,  `  S frec F ,  `  suc  S
11 freccl.a . . . . . 6  S
12 frec0g 5922 . . . . . 6  S frec F ,  `
 (/)
1311, 12syl 14 . . . . 5 frec F ,  `  (/)
1413, 11eqeltrd 2111 . . . 4 frec F ,  `  (/)  S
15 freccl.ex . . . . . . . . . 10  F `

_V
16 frecfnom 5925 . . . . . . . . . 10  F `  _V  S frec F ,  Fn  om
1715, 11, 16syl2anc 391 . . . . . . . . 9 frec F ,  Fn  om
18 funfvex 5135 . . . . . . . . . 10  Fun frec F ,  dom frec F , frec F ,  `

_V
1918funfni 4942 . . . . . . . . 9 frec F ,  Fn  om  om frec F ,  `

_V
2017, 19sylan 267 . . . . . . . 8  om frec F ,  `  _V
21 isset 2555 . . . . . . . 8 frec F ,  ` 
_V frec F ,  `
2220, 21sylib 127 . . . . . . 7  om frec F ,  `
23 freccl.cl . . . . . . . . . . . . 13  S  F `  S
2423ex 108 . . . . . . . . . . . 12  S  F `  S
2524adantr 261 . . . . . . . . . . 11 frec F ,  `  S  F `  S
26 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . 12 frec F ,  `  S frec F ,  `  S
2726adantl 262 . . . . . . . . . . 11 frec F ,  `  S frec F ,  `  S
28 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . 13 frec F ,  `  F `  F ` frec F ,  `
2928eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . 12 frec F ,  `  F `  S  F `
frec F ,  `  S
3029adantl 262 . . . . . . . . . . 11 frec F ,  `  F `  S  F ` frec F ,  `  S
3125, 27, 303imtr3d 191 . . . . . . . . . 10 frec F ,  ` frec F ,  `  S  F ` frec F ,  `
 S
3231ex 108 . . . . . . . . 9 frec F ,  ` frec F ,  `  S  F ` frec F ,  `  S
3332exlimdv 1697 . . . . . . . 8 frec F ,  ` frec F ,  `  S  F `
frec F ,  `  S
3433adantr 261 . . . . . . 7  om frec F ,  ` frec F ,  `  S  F `
frec F ,  `  S
3522, 34mpd 13 . . . . . 6  om frec F ,  `  S  F ` frec F ,  `
 S
3615adantr 261 . . . . . . . 8  om  F `  _V
3711adantr 261 . . . . . . . 8  om  S
38 simpr 103 . . . . . . . 8  om  om
39 frecsuc 5930 . . . . . . . 8  F `  _V  S  om frec F ,  `  suc  F ` frec F ,  `
4036, 37, 38, 39syl3anc 1134 . . . . . . 7  om frec F ,  `  suc  F ` frec F ,  `
4140eleq1d 2103 . . . . . 6  om frec F ,  `  suc  S  F ` frec F ,  `  S
4235, 41sylibrd 158 . . . . 5  om frec F ,  `  S frec F ,  `  suc  S
4342expcom 109 . . . 4  om frec F ,  `  S frec F ,  `  suc  S
446, 8, 10, 14, 43finds2 4267 . . 3  om frec F ,  `  S
454, 44vtoclga 2613 . 2  om frec F ,  `  S
461, 45mpcom 32 1 frec F ,  `  S
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   (/)c0 3218   suc csuc 4068   omcom 4256    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  freccfrec 5917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-frec 5918
This theorem is referenced by:  frecuzrdgrrn  8875
  Copyright terms: Public domain W3C validator