Theorem omex 4316

Description: The existence of omega (the class of natural numbers). Axiom 7 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 6-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
omex	|- om e. _V

Proof of Theorem omex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfinf2 4312	. . 3 |- E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y )
2		intexabim 3906	. . 3 |- ( E. y ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V
4		dfom3 4315	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
5	4	eleq1i 2103	. 2 |- ( om e. _V <-> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } e. _V )
6	3, 5	mpbir 134	1 |- om e. _V

Syntax hints:   /\ wa 97   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   |^|cint 3615   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-int 3616  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  peano5  4321  omelon  4331  frecex  5981  frecabex  5984  niex  6410  enq0ex  6537  nq0ex  6538  uzenom  9202  frecfzennn  9203  nnenom  9210