Theorem frecsuclemdm 5988

Description: Lemma for frecsuc 5991. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
frecsuclem1.h	|- G = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
frecsuclemdm	|- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> dom (recs ( G ) |` suc B ) = suc B )

Distinct variable groups:   A, g, m, x, z   B, g, m, x, z   g, F, m, x, z   g, G, m, x, z   g, V, m, x

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem frecsuclemdm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4332	. . . . 5 |- ( B e. om -> B e. On )
2		suceloni 4227	. . . . 5 |- ( B e. On -> suc B e. On )
3		onss 4219	. . . . 5 |- ( suc B e. On -> suc B C_ On )
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . 4 |- ( B e. om -> suc B C_ On )
5	4	3ad2ant3 927	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> suc B C_ On )
6		eqid 2040	. . . . . . 7 |- recs ( G ) = recs ( G )
7		frecsuclem1.h	. . . . . . . 8 |- G = ( g e. _V |-> { x | ( E. m e. om ( dom g = suc m /\ x e. ( F ` ( g ` m ) ) ) \/ ( dom g = (/) /\ x e. A ) ) } )
8	7	frectfr 5985	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> A. y ( Fun G /\ ( G ` y ) e. _V ) )
9	6, 8	tfri1d 5949	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> recs ( G ) Fn On )
10		fndm 4998	. . . . . 6 |- (recs ( G ) Fn On -> dom recs ( G ) = On )
11	9, 10	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> dom recs ( G ) = On )
12	11	sseq2d 2973	. . . 4 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V ) -> ( suc B C_ dom recs ( G ) <-> suc B C_ On ) )
13	12	3adant3 924	. . 3 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> ( suc B C_ dom recs ( G ) <-> suc B C_ On ) )
14	5, 13	mpbird 156	. 2 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> suc B C_ dom recs ( G ) )
15		ssdmres 4633	. 2 |- ( suc B C_ dom recs ( G ) <-> dom (recs ( G ) |` suc B ) = suc B )
16	14, 15	sylib 127	1 |- ( ( A. z ( F ` z ) e. _V /\ A e. V /\ B e. om ) -> dom (recs ( G ) |` suc B ) = suc B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ wo 629   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   (/)c0 3224   |-> cmpt 3818   Oncon0 4100   suc csuc 4102   omcom 4313   dom cdm 4345   |` cres 4347   Fn wfn 4897   ` cfv 4902  recscrecs 5919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-recs 5920

This theorem is referenced by:  frecsuclem3  5990