Theorem ssdmres 4633

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 2-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 2931	. 2 |- ( A C_ dom B <-> ( A i^i dom B ) = A )
2		dmres 4632	. . 3 |- dom ( B |` A ) = ( A i^i dom B )
3	2	eqeq1i 2047	. 2 |- ( dom ( B |` A ) = A <-> ( A i^i dom B ) = A )
4	1, 3	bitr4i 176	1 |- ( A C_ dom B <-> dom ( B |` A ) = A )

Syntax hints:   <-> wb 98   = wceq 1243   i^i cin 2916   C_ wss 2917   dom cdm 4345   |` cres 4347

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-dm 4355  df-res 4357

This theorem is referenced by:  dmresi  4661  fnssresb  5011  fores  5115  foimacnv  5144  rdgivallem  5968  frecsuclemdm  5988