ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  foimacnv Structured version   Unicode version

Theorem foimacnv 5087
Description: A reverse version of f1imacnv 5086. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
foimacnv  F : -onto->  C  C_  F " `' F " C  C

Proof of Theorem foimacnv
StepHypRef Expression
1 resima 4586 . 2  F  |`  `' F " C
" `' F " C  F " `' F " C
2 fofun 5050 . . . . . 6  F : -onto->  Fun 
F
32adantr 261 . . . . 5  F : -onto->  C  C_  Fun  F
4 funcnvres2 4917 . . . . 5  Fun 
F  `' `' F  |`  C  F  |`  `' F " C
53, 4syl 14 . . . 4  F : -onto->  C  C_  `' `' F  |`  C  F  |`  `' F " C
65imaeq1d 4610 . . 3  F : -onto->  C  C_  `' `' F  |`  C " `' F " C  F  |`  `' F " C " `' F " C
7 resss 4578 . . . . . . . . . . 11  `' F  |`  C  C_  `' F
8 cnvss 4451 . . . . . . . . . . 11  `' F  |`  C 
C_  `' F  `' `' F  |`  C  C_  `' `' F
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  `' `' F  |`  C 
C_  `' `' F
10 cnvcnvss 4718 . . . . . . . . . 10  `' `' F  C_  F
119, 10sstri 2948 . . . . . . . . 9  `' `' F  |`  C 
C_  F
12 funss 4863 . . . . . . . . 9  `' `' F  |`  C  C_  F  Fun  F  Fun  `' `' F  |`  C
1311, 2, 12mpsyl 59 . . . . . . . 8  F : -onto->  Fun  `' `' F  |`  C
1413adantr 261 . . . . . . 7  F : -onto->  C  C_  Fun  `' `' F  |`  C
15 df-ima 4301 . . . . . . . 8  `' F " C  ran  `' F  |`  C
16 df-rn 4299 . . . . . . . 8  ran  `' F  |`  C  dom  `' `' F  |`  C
1715, 16eqtr2i 2058 . . . . . . 7  dom  `' `' F  |`  C  `' F " C
1814, 17jctir 296 . . . . . 6  F : -onto->  C  C_  Fun  `' `' F  |`  C  dom  `' `' F  |`  C  `' F " C
19 df-fn 4848 . . . . . 6  `' `' F  |`  C  Fn  `' F " C  Fun  `' `' F  |`  C  dom  `' `' F  |`  C  `' F " C
2018, 19sylibr 137 . . . . 5  F : -onto->  C  C_  `' `' F  |`  C  Fn  `' F " C
21 dfdm4 4470 . . . . . 6  dom  `' F  |`  C  ran  `' `' F  |`  C
22 forn 5052 . . . . . . . . . 10  F : -onto->  ran 
F
2322sseq2d 2967 . . . . . . . . 9  F : -onto->  C  C_  ran  F  C  C_
2423biimpar 281 . . . . . . . 8  F : -onto->  C  C_  C  C_  ran  F
25 df-rn 4299 . . . . . . . 8  ran  F  dom  `' F
2624, 25syl6sseq 2985 . . . . . . 7  F : -onto->  C  C_  C  C_  dom  `' F
27 ssdmres 4576 . . . . . . 7  C 
C_  dom  `' F  dom  `' F  |`  C  C
2826, 27sylib 127 . . . . . 6  F : -onto->  C  C_  dom  `' F  |`  C  C
2921, 28syl5eqr 2083 . . . . 5  F : -onto->  C  C_  ran  `' `' F  |`  C  C
30 df-fo 4851 . . . . 5  `' `' F  |`  C : `' F " C
-onto-> C  `' `' F  |`  C  Fn  `' F " C  ran  `' `' F  |`  C  C
3120, 29, 30sylanbrc 394 . . . 4  F : -onto->  C  C_  `' `' F  |`  C : `' F " C
-onto-> C
32 foima 5054 . . . 4  `' `' F  |`  C : `' F " C
-onto-> C  `' `' F  |`  C " `' F " C  C
3331, 32syl 14 . . 3  F : -onto->  C  C_  `' `' F  |`  C " `' F " C  C
346, 33eqtr3d 2071 . 2  F : -onto->  C  C_  F  |`  `' F " C " `' F " C  C
351, 34syl5eqr 2083 1  F : -onto->  C  C_  F " `' F " C  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242    C_ wss 2911   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -onto->wfo 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851
This theorem is referenced by:  f1opw2  5648  fopwdom  6246
  Copyright terms: Public domain W3C validator