ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imacnv Unicode version

Theorem f1imacnv 5086
Description: Preimage of an image. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1imacnv  F : -1-1->  C  C_  `' F " F " C  C

Proof of Theorem f1imacnv
StepHypRef Expression
1 resima 4586 . 2  `' F  |`  F
" C
" F " C  `' F " F " C
2 df-f1 4850 . . . . . . 7  F : -1-1->  F : -->  Fun  `' F
32simprbi 260 . . . . . 6  F : -1-1->  Fun  `' F
43adantr 261 . . . . 5  F : -1-1->  C  C_  Fun  `' F
5 funcnvres 4915 . . . . 5  Fun  `' F  `' F  |`  C  `' F  |`  F " C
64, 5syl 14 . . . 4  F : -1-1->  C  C_  `' F  |`  C  `' F  |`  F " C
76imaeq1d 4610 . . 3  F : -1-1->  C  C_  `' F  |`  C " F " C  `' F  |`  F " C " F " C
8 f1ores 5084 . . . . 5  F : -1-1->  C  C_  F  |`  C : C -1-1-onto-> F " C
9 f1ocnv 5082 . . . . 5  F  |`  C : C -1-1-onto-> F " C  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C
108, 9syl 14 . . . 4  F : -1-1->  C  C_  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C
11 imadmrn 4621 . . . . 5  `' F  |`  C
" dom  `' F  |`  C  ran  `' F  |`  C
12 f1odm 5073 . . . . . 6  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C  dom  `' F  |`  C  F " C
1312imaeq2d 4611 . . . . 5  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C  `' F  |`  C
" dom  `' F  |`  C  `' F  |`  C " F " C
14 f1ofo 5076 . . . . . 6  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C  `' F  |`  C : F " C -onto-> C
15 forn 5052 . . . . . 6  `' F  |`  C : F " C -onto-> C 
ran  `' F  |`  C  C
1614, 15syl 14 . . . . 5  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C  ran  `' F  |`  C  C
1711, 13, 163eqtr3a 2093 . . . 4  `' F  |`  C : F " C -1-1-onto-> C  `' F  |`  C
" F " C  C
1810, 17syl 14 . . 3  F : -1-1->  C  C_  `' F  |`  C " F " C  C
197, 18eqtr3d 2071 . 2  F : -1-1->  C  C_  `' F  |`  F " C " F
" C  C
201, 19syl5eqr 2083 1  F : -1-1->  C  C_  `' F " F " C  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242    C_ wss 2911   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by:  f1opw2  5648
  Copyright terms: Public domain W3C validator