ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  foun Structured version   Unicode version

Theorem foun 5088
Description: The union of two onto functions with disjoint domains is an onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
foun  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  F  u.  G :  u.  C -onto->  u.  D

Proof of Theorem foun
StepHypRef Expression
1 fofn 5051 . . . 4  F : -onto->  F  Fn
2 fofn 5051 . . . 4  G : C -onto-> D 
G  Fn  C
31, 2anim12i 321 . . 3  F : -onto->  G : C -onto-> D  F  Fn  G  Fn  C
4 fnun 4948 . . 3  F  Fn  G  Fn  C  i^i  C  (/)  F  u.  G  Fn  u.  C
53, 4sylan 267 . 2  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  F  u.  G  Fn  u.  C
6 rnun 4675 . . 3  ran  F  u.  G  ran  F  u.  ran  G
7 forn 5052 . . . . 5  F : -onto->  ran 
F
87ad2antrr 457 . . . 4  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  ran  F
9 forn 5052 . . . . 5  G : C -onto-> D 
ran  G  D
109ad2antlr 458 . . . 4  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  ran  G  D
118, 10uneq12d 3092 . . 3  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  ran  F  u.  ran  G  u.  D
126, 11syl5eq 2081 . 2  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  ran  F  u.  G  u.  D
13 df-fo 4851 . 2  F  u.  G :  u.  C -onto->  u.  D  F  u.  G  Fn  u.  C  ran  F  u.  G  u.  D
145, 12, 13sylanbrc 394 1  F : -onto->  G : C -onto-> D  i^i  C  (/)  F  u.  G :  u.  C -onto->  u.  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   ran crn 4289    Fn wfn 4840   -onto->wfo 4843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator