ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  foimacnv Structured version   GIF version

Theorem foimacnv 5057
Description: A reverse version of f1imacnv 5056. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
foimacnv ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹 “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem foimacnv
StepHypRef Expression
1 resima 4558 . 2 ((𝐹 ↾ (𝐹𝐶)) “ (𝐹𝐶)) = (𝐹 “ (𝐹𝐶))
2 fofun 5020 . . . . . 6 (𝐹:AontoB → Fun 𝐹)
32adantr 261 . . . . 5 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → Fun 𝐹)
4 funcnvres2 4888 . . . . 5 (Fun 𝐹(𝐹𝐶) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐶)))
53, 4syl 14 . . . 4 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹𝐶) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐶)))
65imaeq1d 4582 . . 3 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ((𝐹𝐶) “ (𝐹𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐹𝐶)) “ (𝐹𝐶)))
7 resss 4550 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐶) ⊆ 𝐹
8 cnvss 4423 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐶) ⊆ 𝐹(𝐹𝐶) ⊆ 𝐹)
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐶) ⊆ 𝐹
10 cnvcnvss 4690 . . . . . . . . . 10 𝐹𝐹
119, 10sstri 2922 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐶) ⊆ 𝐹
12 funss 4834 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶) ⊆ 𝐹 → (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐶)))
1311, 2, 12mpsyl 59 . . . . . . . 8 (𝐹:AontoB → Fun (𝐹𝐶))
1413adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → Fun (𝐹𝐶))
15 df-ima 4273 . . . . . . . 8 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
16 df-rn 4271 . . . . . . . 8 ran (𝐹𝐶) = dom (𝐹𝐶)
1715, 16eqtr2i 2034 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶)
1814, 17jctir 296 . . . . . 6 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (Fun (𝐹𝐶) dom (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶)))
19 df-fn 4820 . . . . . 6 ((𝐹𝐶) Fn (𝐹𝐶) ↔ (Fun (𝐹𝐶) dom (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶)))
2018, 19sylibr 137 . . . . 5 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹𝐶) Fn (𝐹𝐶))
21 dfdm4 4442 . . . . . 6 dom (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
22 forn 5022 . . . . . . . . . 10 (𝐹:AontoB → ran 𝐹 = B)
2322sseq2d 2941 . . . . . . . . 9 (𝐹:AontoB → (𝐶 ⊆ ran 𝐹𝐶B))
2423biimpar 281 . . . . . . . 8 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → 𝐶 ⊆ ran 𝐹)
25 df-rn 4271 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = dom 𝐹
2624, 25syl6sseq 2959 . . . . . . 7 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → 𝐶 ⊆ dom 𝐹)
27 ssdmres 4548 . . . . . . 7 (𝐶 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹𝐶) = 𝐶)
2826, 27sylib 127 . . . . . 6 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → dom (𝐹𝐶) = 𝐶)
2921, 28syl5eqr 2059 . . . . 5 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ran (𝐹𝐶) = 𝐶)
30 df-fo 4823 . . . . 5 ((𝐹𝐶):(𝐹𝐶)–onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐶) Fn (𝐹𝐶) ran (𝐹𝐶) = 𝐶))
3120, 29, 30sylanbrc 394 . . . 4 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹𝐶):(𝐹𝐶)–onto𝐶)
32 foima 5024 . . . 4 ((𝐹𝐶):(𝐹𝐶)–onto𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
3331, 32syl 14 . . 3 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ((𝐹𝐶) “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
346, 33eqtr3d 2047 . 2 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ((𝐹 ↾ (𝐹𝐶)) “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
351, 34syl5eqr 2059 1 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹 “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1223  wss 2885  ccnv 4259  dom cdm 4260  ran crn 4261  cres 4262  cima 4263  Fun wfun 4811   Fn wfn 4812  ontowfo 4815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-br 3728  df-opab 3782  df-id 3993  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-fo 4823
This theorem is referenced by:  f1opw2  5617
  Copyright terms: Public domain W3C validator