Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  foimacnv Structured version   GIF version

Theorem foimacnv 5087
 Description: A reverse version of f1imacnv 5086. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
foimacnv ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹 “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem foimacnv
StepHypRef Expression
1 resima 4586 . 2 ((𝐹 ↾ (𝐹𝐶)) “ (𝐹𝐶)) = (𝐹 “ (𝐹𝐶))
2 fofun 5050 . . . . . 6 (𝐹:AontoB → Fun 𝐹)
32adantr 261 . . . . 5 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → Fun 𝐹)
4 funcnvres2 4917 . . . . 5 (Fun 𝐹(𝐹𝐶) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐶)))
53, 4syl 14 . . . 4 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹𝐶) = (𝐹 ↾ (𝐹𝐶)))
65imaeq1d 4610 . . 3 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ((𝐹𝐶) “ (𝐹𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐹𝐶)) “ (𝐹𝐶)))
7 resss 4578 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝐶) ⊆ 𝐹
8 cnvss 4451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐶) ⊆ 𝐹(𝐹𝐶) ⊆ 𝐹)
97, 8ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐶) ⊆ 𝐹
10 cnvcnvss 4718 . . . . . . . . . 10 𝐹𝐹
119, 10sstri 2948 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐶) ⊆ 𝐹
12 funss 4863 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐶) ⊆ 𝐹 → (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐶)))
1311, 2, 12mpsyl 59 . . . . . . . 8 (𝐹:AontoB → Fun (𝐹𝐶))
1413adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → Fun (𝐹𝐶))
15 df-ima 4301 . . . . . . . 8 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
16 df-rn 4299 . . . . . . . 8 ran (𝐹𝐶) = dom (𝐹𝐶)
1715, 16eqtr2i 2058 . . . . . . 7 dom (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶)
1814, 17jctir 296 . . . . . 6 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (Fun (𝐹𝐶) dom (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶)))
19 df-fn 4848 . . . . . 6 ((𝐹𝐶) Fn (𝐹𝐶) ↔ (Fun (𝐹𝐶) dom (𝐹𝐶) = (𝐹𝐶)))
2018, 19sylibr 137 . . . . 5 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹𝐶) Fn (𝐹𝐶))
21 dfdm4 4470 . . . . . 6 dom (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
22 forn 5052 . . . . . . . . . 10 (𝐹:AontoB → ran 𝐹 = B)
2322sseq2d 2967 . . . . . . . . 9 (𝐹:AontoB → (𝐶 ⊆ ran 𝐹𝐶B))
2423biimpar 281 . . . . . . . 8 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → 𝐶 ⊆ ran 𝐹)
25 df-rn 4299 . . . . . . . 8 ran 𝐹 = dom 𝐹
2624, 25syl6sseq 2985 . . . . . . 7 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → 𝐶 ⊆ dom 𝐹)
27 ssdmres 4576 . . . . . . 7 (𝐶 ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹𝐶) = 𝐶)
2826, 27sylib 127 . . . . . 6 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → dom (𝐹𝐶) = 𝐶)
2921, 28syl5eqr 2083 . . . . 5 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ran (𝐹𝐶) = 𝐶)
30 df-fo 4851 . . . . 5 ((𝐹𝐶):(𝐹𝐶)–onto𝐶 ↔ ((𝐹𝐶) Fn (𝐹𝐶) ran (𝐹𝐶) = 𝐶))
3120, 29, 30sylanbrc 394 . . . 4 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹𝐶):(𝐹𝐶)–onto𝐶)
32 foima 5054 . . . 4 ((𝐹𝐶):(𝐹𝐶)–onto𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
3331, 32syl 14 . . 3 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ((𝐹𝐶) “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
346, 33eqtr3d 2071 . 2 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → ((𝐹 ↾ (𝐹𝐶)) “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
351, 34syl5eqr 2083 1 ((𝐹:AontoB 𝐶B) → (𝐹 “ (𝐹𝐶)) = 𝐶)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ⊆ wss 2911  ◡ccnv 4287  dom cdm 4288  ran crn 4289   ↾ cres 4290   “ cima 4291  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  –onto→wfo 4843 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851 This theorem is referenced by:  f1opw2  5648  fopwdom  6246
 Copyright terms: Public domain W3C validator