Theorem cnvss 4508

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2939	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 3765	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 3765	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 194	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4015	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4353	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4353	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 2986	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   {copab 3817   `'ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-in 2924  df-ss 2931  df-br 3765  df-opab 3819  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  cnveq  4509  rnss  4564  relcnvtr  4840  funss  4920  funcnvuni  4968  funres11  4971  funcnvres  4972  foimacnv  5144  tposss  5861