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Theorem rdgivallem 5968
Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 5969 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rdgivallem  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, V

Proof of Theorem rdgivallem
Dummy variables  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 5957 . . . 4  |-  rec ( F ,  A )  = recs ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) )
2 rdgruledefgg 5962 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  y )  e.  _V ) )
32alrimiv 1754 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  A. y ( Fun  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  /\  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  y )  e.  _V ) )
41, 3tfri2d 5950 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) ) )
543impa 1099 . 2  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) ) )
6 eqidd 2041 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  ( A  u.  U_ x  e. 
dom  g ( F `
 ( g `  x ) ) ) ) )
7 dmeq 4535 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  ->  dom  g  =  dom  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )
8 onss 4219 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  B  C_  On )
983ad2ant3 927 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  On )
10 rdgifnon 5966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  rec ( F ,  A )  Fn  On )
11 fndm 4998 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( F ,  A
)  Fn  On  ->  dom 
rec ( F ,  A )  =  On )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V )  ->  dom  rec ( F ,  A )  =  On )
13123adant3 924 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  dom  rec ( F ,  A )  =  On )
149, 13sseqtr4d 2982 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  B  C_  dom  rec ( F ,  A )
)
15 ssdmres 4633 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  dom  rec ( F ,  A )  <->  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  =  B )
1614, 15sylib 127 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  dom  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  =  B )
177, 16sylan9eqr 2094 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  dom  g  =  B )
18 fveq1 5177 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  ->  (
g `  x )  =  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) )
1918fveq2d 5182 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  ->  ( F `  ( g `  x ) )  =  ( F `  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) )
2019adantl 262 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  ( F `  ( g `  x
) )  =  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) ) )
2117, 20iuneq12d 3681 . . . 4  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  U_ x  e.  dom  g ( F `  ( g `  x
) )  =  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )
2221uneq2d 3097 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  /\  g  =  ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
23 rdgfun 5960 . . . . 5  |-  Fun  rec ( F ,  A )
24 resfunexg 5382 . . . . 5  |-  ( ( Fun  rec ( F ,  A )  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  e.  _V )
2523, 24mpan 400 . . . 4  |-  ( B  e.  On  ->  ( rec ( F ,  A
)  |`  B )  e. 
_V )
26253ad2ant3 927 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A )  |`  B )  e.  _V )
27 simpr 103 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  B  e.  On )
28 vex 2560 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
29 fvexg 5194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rec ( F ,  A )  |`  B )  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )
3025, 28, 29sylancl 392 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )
3130ralrimivw 2393 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x )  e.  _V )
3231adantl 262 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )
33 funfvex 5192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  dom  F
)  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  e.  _V )
3433funfni 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V )  ->  ( F `  (
( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  e.  _V )
3534ex 108 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  _V  ->  (
( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V  ->  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V ) )
3635ralimdv 2388 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  _V  ->  ( A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
)  e.  _V  ->  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V ) )
3736adantr 261 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x )  e.  _V  ->  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V ) )
3832, 37mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
39 iunexg 5746 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  On  /\  A. x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
4027, 38, 39syl2anc 391 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
41403adant2 923 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )
42 unexg 4178 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V )  -> 
( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )  e.  _V )
4342ex 108 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) )  e. 
_V ) )
44433ad2ant2 926 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) )  e.  _V  ->  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )  e.  _V ) )
4541, 44mpd 13 . . 3  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A
)  |`  B ) `  x ) ) )  e.  _V )
466, 22, 26, 45fvmptd 5253 . 2  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( ( g  e. 
_V  |->  ( A  u.  U_ x  e.  dom  g
( F `  (
g `  x )
) ) ) `  ( rec ( F ,  A )  |`  B ) )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
475, 46eqtrd 2072 1  |-  ( ( F  Fn  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  B )  =  ( A  u.  U_ x  e.  B  ( F `  ( ( rec ( F ,  A )  |`  B ) `  x
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    /\ w3a 885    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557    u. cun 2915    C_ wss 2917   U_ciun 3657    |-> cmpt 3818   Oncon0 4100   dom cdm 4345    |` cres 4347   Fun wfun 4896    Fn wfn 4897   ` cfv 4902   reccrdg 5956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-recs 5920  df-irdg 5957
This theorem is referenced by:  rdgival  5969  rdgon  5973
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