ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgivallem Structured version   Unicode version

Theorem rdgivallem 5908
Description: Value of the recursive definition generator. Lemma for rdgival 5909 which simplifies the value further. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2019.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rdgivallem  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  `  u.  U_  F `  rec F ,  |`  `
Distinct variable groups:   ,   ,   , F   , V

Proof of Theorem rdgivallem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-irdg 5897 . . . 4  rec F , recs 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
2 rdgruledefgg 5902 . . . . 5  F  Fn  _V  V  Fun  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  _V
32alrimiv 1751 . . . 4  F  Fn  _V  V  Fun  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  _V
41, 3tfri2d 5891 . . 3  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  `  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 rec F ,  |`
543impa 1098 . 2  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  `  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 rec F ,  |`
6 eqidd 2038 . . 3  F  Fn  _V  V  On  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
7 dmeq 4478 . . . . . 6  rec F ,  |`  dom  dom  rec F ,  |`
8 onss 4185 . . . . . . . . 9  On  C_  On
983ad2ant3 926 . . . . . . . 8  F  Fn  _V  V  On  C_  On
10 rdgifnon 5906 . . . . . . . . . 10  F  Fn  _V  V  rec F ,  Fn  On
11 fndm 4941 . . . . . . . . . 10  rec F ,  Fn  On  dom  rec F ,  On
1210, 11syl 14 . . . . . . . . 9  F  Fn  _V  V  dom  rec F ,  On
13123adant3 923 . . . . . . . 8  F  Fn  _V  V  On  dom  rec F ,  On
149, 13sseqtr4d 2976 . . . . . . 7  F  Fn  _V  V  On  C_  dom  rec F ,
15 ssdmres 4576 . . . . . . 7 
C_  dom  rec F ,  dom  rec F ,  |`
1614, 15sylib 127 . . . . . 6  F  Fn  _V  V  On  dom  rec F ,  |`
177, 16sylan9eqr 2091 . . . . 5  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  |`  dom
18 fveq1 5120 . . . . . . 7  rec F ,  |`  `  rec F ,  |`  `
1918fveq2d 5125 . . . . . 6  rec F ,  |`  F `  `  F `  rec F ,  |`  `
2019adantl 262 . . . . 5  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  |`  F `  `  F `  rec F ,  |`  `
2117, 20iuneq12d 3672 . . . 4  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  |`  U_  dom  F `  `  U_  F `  rec F ,  |`  `
2221uneq2d 3091 . . 3  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  |`  u.  U_  dom  F `  `
 u.  U_  F `  rec F ,  |`  `
23 rdgfun 5900 . . . . 5  Fun  rec F ,
24 resfunexg 5325 . . . . 5  Fun  rec F ,  On  rec F ,  |`  _V
2523, 24mpan 400 . . . 4  On  rec F ,  |` 
_V
26253ad2ant3 926 . . 3  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  |`  _V
27 simpr 103 . . . . . 6  F  Fn  _V  On  On
28 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
29 fvexg 5137 . . . . . . . . . 10  rec F ,  |`  _V  _V  rec F ,  |`  `  _V
3025, 28, 29sylancl 392 . . . . . . . . 9  On  rec F ,  |`  `

_V
3130ralrimivw 2387 . . . . . . . 8  On  rec F ,  |`  `

_V
3231adantl 262 . . . . . . 7  F  Fn  _V  On  rec F ,  |`  `  _V
33 funfvex 5135 . . . . . . . . . . 11  Fun  F  rec F ,  |`  `

dom  F  F `  rec F ,  |`  `
 _V
3433funfni 4942 . . . . . . . . . 10  F  Fn  _V  rec F ,  |`  `  _V  F `  rec F ,  |`  `
 _V
3534ex 108 . . . . . . . . 9  F  Fn  _V  rec F ,  |`  `  _V  F `  rec F ,  |`  `  _V
3635ralimdv 2382 . . . . . . . 8  F  Fn  _V  rec F ,  |`  `  _V  F `  rec F ,  |`  `  _V
3736adantr 261 . . . . . . 7  F  Fn  _V  On  rec F ,  |`  `  _V  F `  rec F ,  |`  `
 _V
3832, 37mpd 13 . . . . . 6  F  Fn  _V  On  F `  rec F ,  |`  `
 _V
39 iunexg 5688 . . . . . 6  On  F `  rec F ,  |`  `
 _V  U_  F `  rec F ,  |`  `
 _V
4027, 38, 39syl2anc 391 . . . . 5  F  Fn  _V  On  U_  F `  rec F ,  |`  `
 _V
41403adant2 922 . . . 4  F  Fn  _V  V  On  U_  F `  rec F ,  |`  `
 _V
42 unexg 4144 . . . . . 6  V  U_  F `  rec F ,  |`  `
 _V  u.  U_  F `  rec F ,  |`  `  _V
4342ex 108 . . . . 5  V  U_  F `  rec F ,  |`  `
 _V  u.  U_  F `  rec F ,  |`  `  _V
44433ad2ant2 925 . . . 4  F  Fn  _V  V  On  U_  F `  rec F ,  |`  `  _V  u.  U_  F `  rec F ,  |`  `  _V
4541, 44mpd 13 . . 3  F  Fn  _V  V  On  u.  U_  F `  rec F ,  |`  ` 
_V
466, 22, 26, 45fvmptd 5196 . 2  F  Fn  _V  V  On 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
 `  rec F ,  |`  u.  U_  F `  rec F ,  |`  `
475, 46eqtrd 2069 1  F  Fn  _V  V  On  rec F ,  `  u.  U_  F `  rec F ,  |`  `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   U_ciun 3648    |-> cmpt 3809   Oncon0 4066   dom cdm 4288    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845   reccrdg 5896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897
This theorem is referenced by:  rdgival  5909  rdgon  5913
  Copyright terms: Public domain W3C validator