Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecsuclemdm Structured version   GIF version

Theorem frecsuclemdm 5927
 Description: Lemma for frecsuc 5930. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
frecsuclem1.h 𝐺 = (g V ↦ {x ∣ (𝑚 𝜔 (dom g = suc 𝑚 x (𝐹‘(g𝑚))) (dom g = ∅ x A))})
Assertion
Ref Expression
frecsuclemdm ((z(𝐹z) V A 𝑉 B 𝜔) → dom (recs(𝐺) ↾ suc B) = suc B)
Distinct variable groups:   A,g,𝑚,x,z   B,g,𝑚,x,z   g,𝐹,𝑚,x,z   g,𝐺,𝑚,x,z   g,𝑉,𝑚,x
Allowed substitution hint:   𝑉(z)

Proof of Theorem frecsuclemdm
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4275 . . . . 5 (B 𝜔 → B On)
2 suceloni 4193 . . . . 5 (B On → suc B On)
3 onss 4185 . . . . 5 (suc B On → suc B ⊆ On)
41, 2, 33syl 17 . . . 4 (B 𝜔 → suc B ⊆ On)
543ad2ant3 926 . . 3 ((z(𝐹z) V A 𝑉 B 𝜔) → suc B ⊆ On)
6 eqid 2037 . . . . . . 7 recs(𝐺) = recs(𝐺)
7 frecsuclem1.h . . . . . . . 8 𝐺 = (g V ↦ {x ∣ (𝑚 𝜔 (dom g = suc 𝑚 x (𝐹‘(g𝑚))) (dom g = ∅ x A))})
87frectfr 5924 . . . . . . 7 ((z(𝐹z) V A 𝑉) → y(Fun 𝐺 (𝐺y) V))
96, 8tfri1d 5890 . . . . . 6 ((z(𝐹z) V A 𝑉) → recs(𝐺) Fn On)
10 fndm 4941 . . . . . 6 (recs(𝐺) Fn On → dom recs(𝐺) = On)
119, 10syl 14 . . . . 5 ((z(𝐹z) V A 𝑉) → dom recs(𝐺) = On)
1211sseq2d 2967 . . . 4 ((z(𝐹z) V A 𝑉) → (suc B ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc B ⊆ On))
13123adant3 923 . . 3 ((z(𝐹z) V A 𝑉 B 𝜔) → (suc B ⊆ dom recs(𝐺) ↔ suc B ⊆ On))
145, 13mpbird 156 . 2 ((z(𝐹z) V A 𝑉 B 𝜔) → suc B ⊆ dom recs(𝐺))
15 ssdmres 4576 . 2 (suc B ⊆ dom recs(𝐺) ↔ dom (recs(𝐺) ↾ suc B) = suc B)
1614, 15sylib 127 1 ((z(𝐹z) V A 𝑉 B 𝜔) → dom (recs(𝐺) ↾ suc B) = suc B)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∃wrex 2301  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218   ↦ cmpt 3809  Oncon0 4066  suc csuc 4068  𝜔com 4256  dom cdm 4288   ↾ cres 4290   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  recscrecs 5860 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-recs 5861 This theorem is referenced by:  frecsuclem3  5929
 Copyright terms: Public domain W3C validator