ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecsuclem2 Unicode version

Theorem frecsuclem2 5928
Description: Lemma for frecsuc 5930. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
frecsuclem1.h  G  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
Assertion
Ref Expression
frecsuclem2  F `  _V  V  om recs G  |`  suc  `
frec F ,  `
Distinct variable groups:   ,, m,,   ,, m,,   , F, m,,   , G, m,,   , V, m,
Allowed substitution hint:    V()

Proof of Theorem frecsuclem2
StepHypRef Expression
1 sucidg 4119 . . . 4  om  suc
2 fvres 5141 . . . 4  suc recs G  |`  suc  ` recs G `
31, 2syl 14 . . 3  om recs G  |`  suc  ` recs G `
4 df-frec 5918 . . . . . 6 frec F , recs  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  |`  om
5 frecsuclem1.h . . . . . . . 8  G  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  }
6 recseq 5862 . . . . . . . 8  G 
_V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `
 m  dom  (/)  } recs G recs  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }
75, 6ax-mp 7 . . . . . . 7 recs G recs  _V  |->  {  |  m  om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }
87reseq1i 4551 . . . . . 6 recs G  |`  om recs  _V  |->  {  |  m 
om  dom  suc  m  F `  `  m  dom  (/)  }  |`  om
94, 8eqtr4i 2060 . . . . 5 frec F , recs G  |`  om
109fveq1i 5122 . . . 4 frec F ,  ` recs G  |`  om `
11 fvres 5141 . . . 4  om recs G  |`  om ` recs G `
1210, 11syl5eq 2081 . . 3  om frec F ,  `
recs G `
133, 12eqtr4d 2072 . 2  om recs G  |`  suc  ` frec F ,  `
14133ad2ant3 926 1  F `  _V  V  om recs G  |`  suc  `
frec F ,  `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   w3a 884  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wrex 2301   _Vcvv 2551   (/)c0 3218    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256   dom cdm 4288    |` cres 4290   ` cfv 4845  recscrecs 5860  freccfrec 5917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-suc 4074  df-xp 4294  df-res 4300  df-iota 4810  df-fv 4853  df-recs 5861  df-frec 5918
This theorem is referenced by:  frecsuclem3  5929
  Copyright terms: Public domain W3C validator