ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resfunexg Unicode version

Theorem resfunexg 5325
Description: The restriction of a function to a set exists. Compare Proposition 6.17 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
resfunexg  Fun  C  |` 
_V

Proof of Theorem resfunexg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 4884 . . . . 5  Fun  Fun  |`
2 funfvex 5135 . . . . . 6  Fun  |`  dom  |`  |`  `  _V
32ralrimiva 2386 . . . . 5  Fun  |`  dom  |`  |`  `

_V
4 fnasrng 5286 . . . . 5  dom  |`  |`  `  _V  dom  |` 
|->  |`  `
 ran  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.
51, 3, 43syl 17 . . . 4  Fun 
dom  |` 
|->  |`  `
 ran  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.
65adantr 261 . . 3  Fun  C  dom  |`  |->  |`  ` 
ran 
dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
71adantr 261 . . . . 5  Fun  C  Fun  |`
8 funfn 4874 . . . . 5  Fun  |`  |`  Fn  dom  |`
97, 8sylib 127 . . . 4  Fun  C  |`  Fn 
dom  |`
10 dffn5im 5162 . . . 4  |`  Fn  dom  |`  |` 
dom  |` 
|->  |`  `
119, 10syl 14 . . 3  Fun  C  |`  dom  |` 
|->  |`  `
12 imadmrn 4621 . . . . 5  dom  |`  |->  <. ,  |`  `  >. " dom  dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.  ran  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.
13 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
14 opexgOLD 3956 . . . . . . . . 9  _V  |`  `

_V  <. ,  |`  `  >.  _V
1513, 2, 14sylancr 393 . . . . . . . 8  Fun  |`  dom  |`  <. ,  |`  `
 >. 
_V
1615ralrimiva 2386 . . . . . . 7  Fun  |`  dom  |` 
<. ,  |`  `  >.  _V
17 dmmptg 4761 . . . . . . 7  dom  |`  <. ,  |`  `
 >. 
_V  dom  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.  dom  |`
181, 16, 173syl 17 . . . . . 6  Fun  dom  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.  dom  |`
1918imaeq2d 4611 . . . . 5  Fun  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.
" dom  dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.  dom  |`  |->  <. ,  |`  `  >. " dom  |`
2012, 19syl5reqr 2084 . . . 4  Fun  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.
" dom  |` 
ran 
dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
2120adantr 261 . . 3  Fun  C  dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
" dom  |` 
ran 
dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
226, 11, 213eqtr4d 2079 . 2  Fun  C  |` 
dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
" dom  |`
23 funmpt 4881 . . 3  Fun  dom  |`  |->  <. ,  |`  `
 >.
24 dmresexg 4577 . . . 4  C  dom  |`  _V
2524adantl 262 . . 3  Fun  C  dom  |`  _V
26 funimaexg 4926 . . 3  Fun 
dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.  dom  |`  _V  dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
" dom  |` 
_V
2723, 25, 26sylancr 393 . 2  Fun  C  dom  |` 
|->  <. ,  |`  `
 >.
" dom  |` 
_V
2822, 27eqeltrd 2111 1  Fun  C  |` 
_V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551   <.cop 3370    |-> cmpt 3809   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fnex  5326  ofexg  5658  cofunexg  5680  rdgivallem  5908  frecsuclem3  5929
  Copyright terms: Public domain W3C validator