Theorem peano5 4321

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4326. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano5	|- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem peano5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfom3 4315	. . 3 |- om = |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) }
2		peano1 4317	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
3		elin 3126	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A ) )
4	2, 3	mpbiran 847	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( om i^i A ) <-> (/) e. A )
5	4	biimpri 124	. . . . . 6 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A ) )
6		peano2 4318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	6	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om )
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. om ) )
9		pm3.31 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> suc x e. A ) )
10	8, 9	jcad 291	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
11	10	alimi 1344	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
12		df-ral 2311	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) <-> A. x ( x e. om -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
13		elin 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om i^i A ) <-> ( x e. om /\ x e. A ) )
14		elin 3126	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( om i^i A ) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) )
15	13, 14	imbi12i 228	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
16	15	albii 1359	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) <-> A. x ( ( x e. om /\ x e. A ) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A ) ) )
17	11, 12, 16	3imtr4i 190	. . . . . . 7 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
18		df-ral 2311	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) <-> A. x ( x e. ( om i^i A ) -> suc x e. ( om i^i A ) ) )
19	17, 18	sylibr 137	. . . . . 6 |- ( A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) )
20	5, 19	anim12i 321	. . . . 5 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
21		omex 4316	. . . . . . 7 |- om e. _V
22	21	inex1 3891	. . . . . 6 |- ( om i^i A ) e. _V
23		eleq2 2101	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( (/) e. y <-> (/) e. ( om i^i A ) ) )
24		eleq2 2101	. . . . . . . 8 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( suc x e. y <-> suc x e. ( om i^i A ) ) )
25	24	raleqbi1dv 2513	. . . . . . 7 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( A. x e. y suc x e. y <-> A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
26	23, 25	anbi12d 442	. . . . . 6 |- ( y = ( om i^i A ) -> ( ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) ) )
27	22, 26	elab 2687	. . . . 5 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } <-> ( (/) e. ( om i^i A ) /\ A. x e. ( om i^i A ) suc x e. ( om i^i A ) ) )
28	20, 27	sylibr 137	. . . 4 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } )
29		intss1 3630	. . . 4 |- ( ( om i^i A ) e. { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
30	28, 29	syl 14	. . 3 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> |^| { y | ( (/) e. y /\ A. x e. y suc x e. y ) } C_ ( om i^i A ) )
31	1, 30	syl5eqss 2989	. 2 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ ( om i^i A ) )
32		ssid 2964	. . . 4 |- om C_ om
33	32	biantrur 287	. . 3 |- ( om C_ A <-> ( om C_ om /\ om C_ A ) )
34		ssin 3159	. . 3 |- ( ( om C_ om /\ om C_ A ) <-> om C_ ( om i^i A ) )
35	33, 34	bitri 173	. 2 |- ( om C_ A <-> om C_ ( om i^i A ) )
36	31, 35	sylibr 137	1 |- ( ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   i^i cin 2916   C_ wss 2917   (/)c0 3224   |^|cint 3615   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  find  4322  finds  4323  finds2  4324  indpi  6440