Theorem peano5 4244

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4249. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano5	|- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> om C_ A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem peano5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfom3 4238	. . 3 |- om = |^| {y | ( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) }
2		peano1 4240	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
3		elin 3099	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. ( om i^i A) <-> ( (/) e. om /\ (/) e. A))
4	2, 3	mpbiran 833	. . . . . . 7 |- ( (/) e. ( om i^i A) <-> (/) e. A)
5	4	biimpri 124	. . . . . 6 |- ( (/) e. A -> (/) e. ( om i^i A))
6		peano2 4241	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. om -> suc x e. om)
7	6	adantr 261	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. om /\ x e. A) -> suc x e. om)
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> ((x e. om /\ x e. A) -> suc x e. om))
9		pm3.31 249	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> ((x e. om /\ x e. A) -> suc x e. A))
10	8, 9	jcad 291	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> ((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
11	10	alimi 1320	. . . . . . . 8 |- (A.x(x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)) -> A.x((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
12		df-ral 2285	. . . . . . . 8 |- (A.x e. om (x e. A -> suc x e. A) <-> A.x(x e. om -> (x e. A -> suc x e. A)))
13		elin 3099	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ( om i^i A) <-> (x e. om /\ x e. A))
14		elin 3099	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. ( om i^i A) <-> ( suc x e. om /\ suc x e. A))
15	13, 14	imbi12i 228	. . . . . . . . 9 |- ((x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)) <-> ((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
16	15	albii 1335	. . . . . . . 8 |- (A.x(x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)) <-> A.x((x e. om /\ x e. A) -> ( suc x e. om /\ suc x e. A)))
17	11, 12, 16	3imtr4i 190	. . . . . . 7 |- (A.x e. om (x e. A -> suc x e. A) -> A.x(x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)))
18		df-ral 2285	. . . . . . 7 |- (A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A) <-> A.x(x e. ( om i^i A) -> suc x e. ( om i^i A)))
19	17, 18	sylibr 137	. . . . . 6 |- (A.x e. om (x e. A -> suc x e. A) -> A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A))
20	5, 19	anim12i 321	. . . . 5 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> ( (/) e. ( om i^i A) /\ A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A)))
21		omex 4239	. . . . . . 7 |- om e. _V
22	21	inex1 3861	. . . . . 6 |- ( om i^i A) e. _V
23		eleq2 2079	. . . . . . 7 |- (y = ( om i^i A) -> ( (/) e. y <-> (/) e. ( om i^i A)))
24		eleq2 2079	. . . . . . . 8 |- (y = ( om i^i A) -> ( suc x e. y <-> suc x e. ( om i^i A)))
25	24	raleqbi1dv 2487	. . . . . . 7 |- (y = ( om i^i A) -> (A.x e. y suc x e. y <-> A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A)))
26	23, 25	anbi12d 445	. . . . . 6 |- (y = ( om i^i A) -> (( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) <-> ( (/) e. ( om i^i A) /\ A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A))))
27	22, 26	elab 2660	. . . . 5 |- (( om i^i A) e. {y | ( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) } <-> ( (/) e. ( om i^i A) /\ A.x e. ( om i^i A) suc x e. ( om i^i A)))
28	20, 27	sylibr 137	. . . 4 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> ( om i^i A) e. {y | ( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) })
29		intss1 3600	. . . 4 |- (( om i^i A) e. {y | ( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) } -> |^| {y | ( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) } C_ ( om i^i A))
30	28, 29	syl 14	. . 3 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> |^| {y | ( (/) e. y /\ A.x e. y suc x e. y) } C_ ( om i^i A))
31	1, 30	syl5eqss 2962	. 2 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> om C_ ( om i^i A))
32		ssid 2937	. . . 4 |- om C_ om
33	32	biantrur 287	. . 3 |- ( om C_ A <-> ( om C_ om /\ om C_ A))
34		ssin 3132	. . 3 |- (( om C_ om /\ om C_ A) <-> om C_ ( om i^i A))
35	33, 34	bitri 173	. 2 |- ( om C_ A <-> om C_ ( om i^i A))
36	31, 35	sylibr 137	1 |- (( (/) e. A /\ A.x e. om (x e. A -> suc x e. A)) -> om C_ A)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97  A.wal 1224   = wceq 1226   e. wcel 1370   {cab 2004  A.wral 2280   i^i cin 2889   C_ wss 2890   (/)c0 3197   |^|cint 3585   suc csuc 4047   omcom 4236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-uni 3551  df-int 3586  df-suc 4053  df-iom 4237

This theorem is referenced by:  find  4245  finds  4246  finds2  4247