ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano5 Structured version   Unicode version

Theorem peano5 4264
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4269. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  (/)  om  suc  om  C_
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem peano5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfom3 4258 . . 3  om  |^|
{  |  (/)  suc  }
2 peano1 4260 . . . . . . . 8  (/)  om
3 elin 3120 . . . . . . . 8  (/)  om  i^i  (/)  om  (/)
42, 3mpbiran 846 . . . . . . 7  (/)  om  i^i 
(/)
54biimpri 124 . . . . . 6  (/)  (/)  om  i^i
6 peano2 4261 . . . . . . . . . . . 12  om  suc  om
76adantr 261 . . . . . . . . . . 11  om  suc  om
87a1i 9 . . . . . . . . . 10  om  suc  om  suc  om
9 pm3.31 249 . . . . . . . . . 10  om  suc  om  suc
108, 9jcad 291 . . . . . . . . 9  om  suc  om  suc 
om  suc
1110alimi 1341 . . . . . . . 8  om  suc  om  suc 
om  suc
12 df-ral 2305 . . . . . . . 8  om  suc 
om  suc
13 elin 3120 . . . . . . . . . 10  om  i^i 
om
14 elin 3120 . . . . . . . . . 10  suc  om  i^i  suc  om  suc
1513, 14imbi12i 228 . . . . . . . . 9  om  i^i  suc  om  i^i  om  suc 
om  suc
1615albii 1356 . . . . . . . 8  om  i^i  suc  om  i^i  om  suc 
om  suc
1711, 12, 163imtr4i 190 . . . . . . 7  om  suc  om  i^i  suc  om  i^i
18 df-ral 2305 . . . . . . 7  om  i^i  suc  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
1917, 18sylibr 137 . . . . . 6  om  suc  om  i^i  suc  om  i^i
205, 19anim12i 321 . . . . 5  (/)  om  suc  (/)  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
21 omex 4259 . . . . . . 7  om  _V
2221inex1 3882 . . . . . 6  om  i^i  _V
23 eleq2 2098 . . . . . . 7  om  i^i  (/)  (/)  om  i^i
24 eleq2 2098 . . . . . . . 8  om  i^i  suc  suc  om  i^i
2524raleqbi1dv 2507 . . . . . . 7  om  i^i  suc  om  i^i  suc  om  i^i
2623, 25anbi12d 442 . . . . . 6  om  i^i  (/)  suc  (/)  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
2722, 26elab 2681 . . . . 5  om  i^i  {  |  (/) 
suc  }  (/)  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
2820, 27sylibr 137 . . . 4  (/)  om  suc  om  i^i  {  |  (/) 
suc  }
29 intss1 3621 . . . 4  om  i^i  {  |  (/) 
suc  }  |^| {  |  (/) 
suc  }  C_  om  i^i
3028, 29syl 14 . . 3  (/)  om  suc  |^| {  |  (/) 
suc  }  C_  om  i^i
311, 30syl5eqss 2983 . 2  (/)  om  suc  om  C_  om  i^i
32 ssid 2958 . . . 4  om  C_  om
3332biantrur 287 . . 3  om  C_  om  C_  om  om  C_
34 ssin 3153 . . 3  om  C_  om  om  C_  om  C_  om  i^i
3533, 34bitri 173 . 2  om  C_  om  C_  om  i^i
3631, 35sylibr 137 1  (/)  om  suc  om  C_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   |^|cint 3606   suc csuc 4068   omcom 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257
This theorem is referenced by:  find  4265  finds  4266  finds2  4267  indpi  6326
  Copyright terms: Public domain W3C validator