ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano5 Structured version   Unicode version

Theorem peano5 4244
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction step, is derived from this theorem as theorem findes 4249. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  (/)  om  suc  om  C_
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem peano5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfom3 4238 . . 3  om  |^|
{  |  (/)  suc  }
2 peano1 4240 . . . . . . . 8  (/)  om
3 elin 3099 . . . . . . . 8  (/)  om  i^i  (/)  om  (/)
42, 3mpbiran 833 . . . . . . 7  (/)  om  i^i 
(/)
54biimpri 124 . . . . . 6  (/)  (/)  om  i^i
6 peano2 4241 . . . . . . . . . . . 12  om  suc  om
76adantr 261 . . . . . . . . . . 11  om  suc  om
87a1i 9 . . . . . . . . . 10  om  suc  om  suc  om
9 pm3.31 249 . . . . . . . . . 10  om  suc  om  suc
108, 9jcad 291 . . . . . . . . 9  om  suc  om  suc 
om  suc
1110alimi 1320 . . . . . . . 8  om  suc  om  suc 
om  suc
12 df-ral 2285 . . . . . . . 8  om  suc 
om  suc
13 elin 3099 . . . . . . . . . 10  om  i^i 
om
14 elin 3099 . . . . . . . . . 10  suc  om  i^i  suc  om  suc
1513, 14imbi12i 228 . . . . . . . . 9  om  i^i  suc  om  i^i  om  suc 
om  suc
1615albii 1335 . . . . . . . 8  om  i^i  suc  om  i^i  om  suc 
om  suc
1711, 12, 163imtr4i 190 . . . . . . 7  om  suc  om  i^i  suc  om  i^i
18 df-ral 2285 . . . . . . 7  om  i^i  suc  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
1917, 18sylibr 137 . . . . . 6  om  suc  om  i^i  suc  om  i^i
205, 19anim12i 321 . . . . 5  (/)  om  suc  (/)  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
21 omex 4239 . . . . . . 7  om  _V
2221inex1 3861 . . . . . 6  om  i^i  _V
23 eleq2 2079 . . . . . . 7  om  i^i  (/)  (/)  om  i^i
24 eleq2 2079 . . . . . . . 8  om  i^i  suc  suc  om  i^i
2524raleqbi1dv 2487 . . . . . . 7  om  i^i  suc  om  i^i  suc  om  i^i
2623, 25anbi12d 445 . . . . . 6  om  i^i  (/)  suc  (/)  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
2722, 26elab 2660 . . . . 5  om  i^i  {  |  (/) 
suc  }  (/)  om  i^i  om  i^i  suc  om  i^i
2820, 27sylibr 137 . . . 4  (/)  om  suc  om  i^i  {  |  (/) 
suc  }
29 intss1 3600 . . . 4  om  i^i  {  |  (/) 
suc  }  |^| {  |  (/) 
suc  }  C_  om  i^i
3028, 29syl 14 . . 3  (/)  om  suc  |^| {  |  (/) 
suc  }  C_  om  i^i
311, 30syl5eqss 2962 . 2  (/)  om  suc  om  C_  om  i^i
32 ssid 2937 . . . 4  om  C_  om
3332biantrur 287 . . 3  om  C_  om  C_  om  om  C_
34 ssin 3132 . . 3  om  C_  om  om  C_  om  C_  om  i^i
3533, 34bitri 173 . 2  om  C_  om  C_  om  i^i
3631, 35sylibr 137 1  (/)  om  suc  om  C_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1224   wceq 1226   wcel 1370   {cab 2004  wral 2280    i^i cin 2889    C_ wss 2890   (/)c0 3197   |^|cint 3585   suc csuc 4047   omcom 4236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116  ax-iinf 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-uni 3551  df-int 3586  df-suc 4053  df-iom 4237
This theorem is referenced by:  find  4245  finds  4246  finds2  4247
  Copyright terms: Public domain W3C validator