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Theorem indpi 6438
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2 elni 6404 . . 3  |-  ( x  e.  N.  <->  ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) ) )
3 eqid 2040 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (/)
43orci 650 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
5 nfv 1421 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x (/)  =  (/)
6 nfsbc1v 2782 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. (/)  /  x ]. ph
75, 6nfor 1466 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
8 0ex 3884 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
9 eqeq1 2046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  (/)  <->  (/)  =  (/) ) )
10 sbceq1a 2773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  [. (/)  /  x ]. ph )
)
119, 10orbi12d 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  (/)  \/  ph ) 
<->  ( (/)  =  (/)  \/  [. (/)  /  x ]. ph )
) )
127, 8, 11elabf 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <->  ( (/)  =  (/)  \/ 
[. (/)  /  x ]. ph ) )
134, 12mpbir 134 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  {
x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
14 suceq 4139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
15 df-1o 6001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  =  suc  (/)
1614, 15syl6eqr 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ps
1817olci 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
19 1onn 6093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
2019elexi 2567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  _V
21 eqeq1 2046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  (/)  <->  1o  =  (/) ) )
22 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2321, 22orbi12d 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
) )
2420, 23elab 2687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( 1o  =  (/)  \/  ps )
)
2518, 24mpbir 134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
2616, 25syl6eqel 2128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
2726a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) ) )
29 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
30 elni 6404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
3130simprbi 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  y  =/=  (/) )
3231neneqd 2226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  -.  y  =  (/) )
33 biorf 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  =  (/)  ->  ( ch 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
ch ) ) )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
ch ) ) )
35 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
36 eqeq1 2046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
37 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3836, 37orbi12d 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( y  =  (/)  \/  ch )
) )
3935, 38elab 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( y  =  (/)  \/  ch )
)
4034, 39syl6bbr 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch 
<->  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
41 1pi 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1o  e.  N.
42 addclpi 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
4341, 42mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
44 elni 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +N  1o )  e.  N.  <->  ( (
y  +N  1o )  e.  om  /\  (
y  +N  1o )  =/=  (/) ) )
4543, 44sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  om  /\  (
y  +N  1o )  =/=  (/) ) )
4645simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =/=  (/) )
4746neneqd 2226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  -.  ( y  +N  1o )  =  (/) )
48 biorf 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( y  +N  1o )  =  (/)  ->  ( th 
<->  ( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  ( th 
<->  ( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
50 eqeq1 2046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  +N  1o )  =  (/) ) )
51 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
5250, 51orbi12d 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
ph )  <->  ( (
y  +N  1o )  =  (/)  \/  th )
) )
5352elabg 2688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +N  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <-> 
( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
5443, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <-> 
( ( y  +N  1o )  =  (/)  \/ 
th ) ) )
55 addpiord 6412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
5641, 55mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
57 pion 6406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
58 oa1suc 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
5957, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6056, 59eqtrd 2072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6160eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( y  +N  1o )  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  <->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6249, 54, 613bitr2d 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( th 
<->  suc  y  e.  {
x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6329, 40, 623imtr3d 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
6463a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  e.  N.  ->  ( y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) ) )
65 nndceq0 4339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  -> DECID  y  =  (/) )
66 df-dc 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  y  =  (/) 
<->  ( y  =  (/)  \/ 
-.  y  =  (/) ) )
6765, 66sylib 127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  \/  -.  y  =  (/) ) )
68 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  ->  y  =  (/) ) )
6968necon3bd 2248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  y  =/=  (/) ) )
7069anc2li 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  (
y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
7170, 30syl6ibr 151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  =  (/)  ->  y  e.  N. ) )
7271orim2d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
-.  y  =  (/) )  ->  ( y  =  (/)  \/  y  e.  N. ) ) )
7367, 72mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  =  (/)  \/  y  e.  N. ) )
7428, 64, 73mpjaod 638 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )
7574rgen 2374 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  om  ( y  e. 
{ x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
76 peano5 4321 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  /\  A. y  e. 
om  ( y  e. 
{ x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }  ->  suc  y  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } ) )  ->  om  C_  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) } )
7713, 75, 76mp2an 402 . . . . . . 7  |-  om  C_  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) }
7877sseli 2941 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/  ph ) } )
79 abid 2028 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  |  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) }  <->  ( x  =  (/)  \/  ph )
)
8078, 79sylib 127 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  =  (/)  \/  ph ) )
8180adantr 261 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  (
x  =  (/)  \/  ph ) )
82 df-ne 2206 . . . . . 6  |-  ( x  =/=  (/)  <->  -.  x  =  (/) )
83 biorf 663 . . . . . 6  |-  ( -.  x  =  (/)  ->  ( ph 
<->  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) ) )
8482, 83sylbi 114 . . . . 5  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ( ph  <->  ( x  =  (/)  \/  ph ) ) )
8584adantl 262 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( ph 
<->  ( x  =  (/)  \/ 
ph ) ) )
8681, 85mpbird 156 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  x  =/=  (/) )  ->  ph )
872, 86sylbi 114 . 2  |-  ( x  e.  N.  ->  ph )
881, 87vtoclga 2619 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629  DECID wdc 742    = wceq 1243    e. wcel 1393   {cab 2026    =/= wne 2204   A.wral 2306   [.wsbc 2764    C_ wss 2917   (/)c0 3224   Oncon0 4100   suc csuc 4102   omcom 4313  (class class class)co 5512   1oc1o 5994    +o coa 5998   N.cnpi 6368    +N cpli 6369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-ni 6400  df-pli 6401
This theorem is referenced by:  pitonn  6922
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