ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitonn Unicode version

Theorem pitonn 6744
Description: Mapping from  N. to  NN. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
pitonn  n  N.  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  |^| {  |  1  +  1  }
Distinct variable group:    n, l,,,

Proof of Theorem pitonn
Dummy variables  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  1o  <. ,  1o >.  <. 1o ,  1o >.
21eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14  1o  <. ,  1o >. 
~Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q
32breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . 13  1o 
l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q
43abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  1o  {
l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  }  { l  |  l 
<Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  }
52breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  1o  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  <Q
65abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  1o  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  }  {  |  <. 1o ,  1o >.  ~Q  <Q  }
74, 6opeq12d 3548 . . . . . . . . . . 11  1o  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
<. { l  |  l 
<Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.
87oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  1o  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P 
<. { l  |  l 
<Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
98opeq1d 3546 . . . . . . . . 9  1o  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  <. <. { l  |  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.
109eceq1d 6078 . . . . . . . 8  1o  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
1110opeq1d 3546 . . . . . . 7  1o  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
1211eleq1d 2103 . . . . . 6  1o  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
1312imbi2d 219 . . . . 5  1o  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
14 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  k  <. ,  1o >.  <. k ,  1o >.
1514eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14  k  <. ,  1o >. 
~Q  <. k ,  1o >.  ~Q
1615breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . 13  k 
l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q
1716abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  k  {
l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  }  { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  }
1815breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  k  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q
1918abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  k  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  }  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  }
2017, 19opeq12d 3548 . . . . . . . . . . 11  k  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
<. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.
2120oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  k  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P 
<. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
2221opeq1d 3546 . . . . . . . . 9  k  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.
2322eceq1d 6078 . . . . . . . 8  k  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
2423opeq1d 3546 . . . . . . 7  k  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
2524eleq1d 2103 . . . . . 6  k  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
2625imbi2d 219 . . . . 5  k  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
27 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  k  +N  1o  <. ,  1o >.  <. k  +N  1o ,  1o >.
2827eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14  k  +N  1o  <. ,  1o >. 
~Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q
2928breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . 13  k  +N  1o 
l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  l  <Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q
3029abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  k  +N  1o  {
l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  }  { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  }
3128breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  k  +N  1o  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q
3231abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  k  +N  1o  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  }  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  }
3330, 32opeq12d 3548 . . . . . . . . . . 11  k  +N  1o  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
<. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.
3433oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  k  +N  1o  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P 
<. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P
3534opeq1d 3546 . . . . . . . . 9  k  +N  1o  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  <. <. { l  |  l  <Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.
3635eceq1d 6078 . . . . . . . 8  k  +N  1o  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <.
k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R
3736opeq1d 3546 . . . . . . 7  k  +N  1o  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
3837eleq1d 2103 . . . . . 6  k  +N  1o  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
3938imbi2d 219 . . . . 5  k  +N  1o  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
40 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . 15  n  <. ,  1o >.  <. n ,  1o >.
4140eceq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . 14  n  <. ,  1o >. 
~Q  <. n ,  1o >.  ~Q
4241breq2d 3767 . . . . . . . . . . . . 13  n 
l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q
4342abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  n  {
l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  }  { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  }
4441breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  n  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q
4544abbidv 2152 . . . . . . . . . . . 12  n  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  }  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  }
4643, 45opeq12d 3548 . . . . . . . . . . 11  n  <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.
4746oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10  n  <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P 
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P
4847opeq1d 3546 . . . . . . . . 9  n  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.
4948eceq1d 6078 . . . . . . . 8  n  <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R
5049opeq1d 3546 . . . . . . 7  n  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
5150eleq1d 2103 . . . . . 6  n  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
5251imbi2d 219 . . . . 5  n  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
53 pitonnlem1 6741 . . . . . . . 8  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1
5453eleq1i 2100 . . . . . . 7  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1
5554biimpri 124 . . . . . 6  1  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
5655adantr 261 . . . . 5  1  +  1  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. 1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. 1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
57 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  + 
1 
<. <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1
5857eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1
5958rspccv 2647 . . . . . . . . 9  +  1  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1
6059ad2antll 460 . . . . . . . 8  k  N.  1  +  1  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1
61 pitonnlem2 6743 . . . . . . . . . 10  k  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6261eleq1d 2103 . . . . . . . . 9  k  N.  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6362adantr 261 . . . . . . . 8  k  N.  1  +  1 
<. <. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  +  1  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6460, 63sylibd 138 . . . . . . 7  k  N.  1  +  1  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <.
k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6564ex 108 . . . . . 6  k  N.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <.
k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6665a2d 23 . . . . 5  k  N.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. k  +N  1o ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6713, 26, 39, 52, 56, 66indpi 6326 . . . 4  n  N.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
6867alrimiv 1751 . . 3  n  N.  1  +  1  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
69 eleq2 2098 . . . . 5 
1  1
70 eleq2 2098 . . . . . 6  +  1  +  1
7170raleqbi1dv 2507 . . . . 5  +  1  +  1
7269, 71anbi12d 442 . . . 4  1  +  1  1  +  1
7372ralab 2695 . . 3  {  |  1  +  1  } <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  1  +  1  <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
7468, 73sylibr 137 . 2  n  N.  {  |  1  +  1  } <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
75 nnprlu 6534 . . . . . . 7  n  N.  <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.
76 1pr 6535 . . . . . . 7  1P  P.
77 addclpr 6520 . . . . . . 7 
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >. 
P.  1P  P.  <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.
7875, 76, 77sylancl 392 . . . . . 6  n  N.  <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.
79 opelxpi 4319 . . . . . 6  <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P  P.  1P  P.  <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  P.  X.  P.
8078, 76, 79sylancl 392 . . . . 5  n  N.  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  P.  X.  P.
81 enrex 6665 . . . . . 6  ~R  _V
8281ecelqsi 6096 . . . . 5  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  P.  X.  P.  <.
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
8380, 82syl 14 . . . 4  n  N.  <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R
84 0r 6678 . . . 4  0R  R.
85 opelxpi 4319 . . . 4  <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  P.  X.  P. /.  ~R  0R  R.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  P.  X.  P. /.  ~R  X.  R.
8683, 84, 85sylancl 392 . . 3  n  N.  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  P.  X.  P. /.  ~R  X.  R.
87 elintg 3614 . . 3  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  P.  X.  P. /.  ~R  X.  R.  <. <.
<. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  |^| {  |  1  +  1  }  {  |  1  +  1  } <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
8886, 87syl 14 . 2  n  N.  <. <. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >.  ~Q  <Q  } >.  +P.  1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  |^| {  |  1  +  1  }  {  |  1  +  1  } <. <. <. { l  |  l 
<Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.
8974, 88mpbird 156 1  n  N.  <.
<. <. { l  |  l  <Q  <. n ,  1o >.  ~Q  } ,  {  |  <. n ,  1o >. 
~Q  <Q  } >.  +P. 
1P ,  1P >.  ~R  ,  0R >.  |^| {  |  1  +  1  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300   <.cop 3370   |^|cint 3606   class class class wbr 3755    X. cxp 4286  (class class class)co 5455   1oc1o 5933  cec 6040   /.cqs 6041   N.cnpi 6256    +N cpli 6257    ~Q ceq 6263    <Q cltq 6269   P.cnp 6275   1Pc1p 6276    +P. cpp 6277    ~R cer 6280   R.cnr 6281   0Rc0r 6282   1c1 6712    + caddc 6714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-enr 6654  df-nr 6655  df-plr 6656  df-0r 6659  df-1r 6660  df-c 6717  df-1 6719  df-add 6722
This theorem is referenced by:  axarch  6773
  Copyright terms: Public domain W3C validator