Theorem 0elsucexmid 4289

Description: If the successor of any ordinal class contains the empty set, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
0elsucexmid.1	|- A. x e. On (/) e. suc x

Assertion

Ref	Expression
0elsucexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem 0elsucexmid

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4245	. . . 4 |- { y e. { (/) } | ph } e. On
2		0elsucexmid.1	. . . 4 |- A. x e. On (/) e. suc x
3		suceq 4139	. . . . . 6 |- ( x = { y e. { (/) } | ph } -> suc x = suc { y e. { (/) } | ph } )
4	3	eleq2d 2107	. . . . 5 |- ( x = { y e. { (/) } | ph } -> ( (/) e. suc x <-> (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } ) )
5	4	rspcv 2652	. . . 4 |- ( { y e. { (/) } | ph } e. On -> ( A. x e. On (/) e. suc x -> (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } ) )
6	1, 2, 5	mp2 16	. . 3 |- (/) e. suc { y e. { (/) } | ph }
7		0ex 3884	. . . 4 |- (/) e. _V
8	7	elsuc 4143	. . 3 |- ( (/) e. suc { y e. { (/) } | ph } <-> ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } ) )
9	6, 8	mpbi 133	. 2 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } )
10	7	snid 3402	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
11		biidd 161	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( ph <-> ph ) )
12	11	elrab3 2699	. . . . 5 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
13	10, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } <-> ph )
14	13	biimpi 113	. . 3 |- ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } -> ph )
15		ordtriexmidlem2 4246	. . . 4 |- ( { y e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
16	15	eqcoms 2043	. . 3 |- ( (/) = { y e. { (/) } | ph } -> -. ph )
17	14, 16	orim12i 676	. 2 |- ( ( (/) e. { y e. { (/) } | ph } \/ (/) = { y e. { (/) } | ph } ) -> ( ph \/ -. ph ) )
18	9, 17	ax-mp 7	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 98   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   {crab 2310   (/)c0 3224   {csn 3375   Oncon0 4100   suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108

This theorem is referenced by: (None)