ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdg0 Structured version   Unicode version

Theorem rdg0 5914
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1  _V
Assertion
Ref Expression
rdg0  rec F ,  `  (/)

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5  (/)  _V
2 dmeq 4478 . . . . . . . 8  (/)  dom  dom  (/)
3 fveq1 5120 . . . . . . . . 9  (/)  `  (/) `
43fveq2d 5125 . . . . . . . 8  (/)  F `  `  F `  (/) `
52, 4iuneq12d 3672 . . . . . . 7  (/)  U_  dom  F `
 `  U_  dom  (/) F `
 (/) `
65uneq2d 3091 . . . . . 6  (/)  u.  U_ 
dom  F `
 `  u.  U_  dom  (/) F `
 (/) `
7 eqid 2037 . . . . . 6  _V  |->  u.  U_ 
dom  F `
 ` 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
8 rdg.1 . . . . . . 7  _V
9 dm0 4492 . . . . . . . . . 10  dom  (/)  (/)
10 iuneq1 3661 . . . . . . . . . 10  dom  (/)  (/)  U_  dom  (/) F `  (/) `  U_  (/)  F `  (/) `
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9  U_  dom  (/) F `  (/) `  U_  (/)  F `  (/) `
12 0iun 3705 . . . . . . . . 9  U_  (/)  F `  (/) `  (/)
1311, 12eqtri 2057 . . . . . . . 8  U_  dom  (/) F `  (/) `  (/)
1413, 1eqeltri 2107 . . . . . . 7  U_  dom  (/) F `  (/) `  _V
158, 14unex 4142 . . . . . 6  u.  U_ 
dom  (/) F `  (/) `  _V
166, 7, 15fvmpt 5192 . . . . 5  (/)  _V  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)  u.  U_  dom  (/) F `  (/) `
171, 16ax-mp 7 . . . 4  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)  u.  U_  dom  (/) F `  (/) `
1817, 15eqeltri 2107 . . 3  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)  _V
19 df-irdg 5897 . . . 4  rec F , recs 
_V  |->  u.  U_  dom  F `  `
2019tfr0 5878 . . 3  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)  _V  rec F ,  `  (/)  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)
2118, 20ax-mp 7 . 2  rec F ,  `  (/)  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)
2213uneq2i 3088 . . . 4  u.  U_ 
dom  (/) F `  (/) `  u.  (/)
2317, 22eqtri 2057 . . 3  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)  u.  (/)
24 un0 3245 . . 3  u.  (/)
2523, 24eqtri 2057 . 2  _V  |->  u.  U_  dom  F `
 `  `
 (/)
2621, 25eqtri 2057 1  rec F ,  `  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909   (/)c0 3218   U_ciun 3648    |-> cmpt 3809   dom cdm 4288   ` cfv 4845   reccrdg 5896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-recs 5861  df-irdg 5897
This theorem is referenced by:  rdg0g  5915  om0  5977
  Copyright terms: Public domain W3C validator