Theorem 2nd0 5772

Description: The value of the second-member function at the empty set. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.)

Assertion

Ref	Expression
2nd0	|- ( 2nd ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem 2nd0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3884	. . 3 |- (/) e. _V
2		2ndvalg 5770	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( 2nd ` (/) ) = U. ran { (/) } )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ( 2nd ` (/) ) = U. ran { (/) }
4		dmsn0 4788	. . . 4 |- dom { (/) } = (/)
5		dm0rn0 4552	. . . 4 |- ( dom { (/) } = (/) <-> ran { (/) } = (/) )
6	4, 5	mpbi 133	. . 3 |- ran { (/) } = (/)
7	6	unieqi 3590	. 2 |- U. ran { (/) } = U. (/)
8		uni0 3607	. 2 |- U. (/) = (/)
9	3, 7, 8	3eqtri 2064	1 |- ( 2nd ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   (/)c0 3224   {csn 3375   U.cuni 3580   dom cdm 4345   ran crn 4346   ` cfv 4902   2ndc2nd 5766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-2nd 5768

This theorem is referenced by: (None)