ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2orexmid Structured version   Unicode version

Theorem ordtri2orexmid 4191
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordtri2orexmid.1  On  On  C_
Assertion
Ref Expression
ordtri2orexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem ordtri2orexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2orexmid.1 . . . 4  On  On  C_
2 ordtriexmidlem 4188 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  On
3 suc0 4093 . . . . . 6  suc  (/)  { (/)
}
4 0elon 4074 . . . . . . 7  (/)  On
54onsuci 4187 . . . . . 6  suc  (/)  On
63, 5eqeltrri 2089 . . . . 5  { (/) }  On
7 eleq1 2078 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  { 
{ (/) }  |  }
8 sseq2 2940 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  C_  C_  {  { (/) }  |  }
97, 8orbi12d 694 . . . . . 6  { 
{ (/) }  |  }  C_  {  { (/) }  |  }  C_  {  { (/) }  |  }
10 eleq2 2079 . . . . . . 7  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
11 sseq1 2939 . . . . . . 7  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
1210, 11orbi12d 694 . . . . . 6  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }  C_  { 
{ (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
139, 12rspc2va 2636 . . . . 5  { 
{ (/) }  |  }  On  { (/)
}  On  On  On  C_  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  C_  {  { (/) }  |  }
142, 6, 13mpanl12 414 . . . 4  On  On  C_  {  { (/) }  |  }  {
(/) }  { (/) } 
C_  { 
{ (/) }  |  }
151, 14ax-mp 7 . . 3  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
16 elsni 3370 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  (/)
17 ordtriexmidlem2 4189 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  (/)
1816, 17syl 14 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
19 snssg 3470 . . . . . 6  (/)  On  (/)  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
204, 19ax-mp 7 . . . . 5  (/)  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
21 0ex 3854 . . . . . . . 8  (/)  _V
2221snid 3373 . . . . . . 7  (/)  { (/)
}
23 biidd 161 . . . . . . . 8  (/)
2423elrab3 2672 . . . . . . 7  (/)  { (/) }  (/)  {  { (/)
}  |  }
2522, 24ax-mp 7 . . . . . 6  (/)  {  { (/)
}  |  }
2625biimpi 113 . . . . 5  (/)  {  { (/)
}  |  }
2720, 26sylbir 125 . . . 4  { (/)
}  C_  {  { (/) }  |  }
2818, 27orim12i 663 . . 3  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  { (/)
}  C_  {  { (/) }  |  }
2915, 28ax-mp 7 . 2
30 orcom 634 . 2
3129, 30mpbi 133 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wb 98   wo 616   wceq 1226   wcel 1370  wral 2280   {crab 2284    C_ wss 2890   (/)c0 3197   {csn 3346   Oncon0 4045   suc csuc 4047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-uni 3551  df-tr 3825  df-iord 4048  df-on 4050  df-suc 4053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator