ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtri2orexmid Structured version   Unicode version

Theorem ordtri2orexmid 4211
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordtri2orexmid.1  On  On  C_
Assertion
Ref Expression
ordtri2orexmid
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem ordtri2orexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtri2orexmid.1 . . . 4  On  On  C_
2 ordtriexmidlem 4208 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  On
3 suc0 4114 . . . . . 6  suc  (/)  { (/)
}
4 0elon 4095 . . . . . . 7  (/)  On
54onsuci 4207 . . . . . 6  suc  (/)  On
63, 5eqeltrri 2108 . . . . 5  { (/) }  On
7 eleq1 2097 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  { 
{ (/) }  |  }
8 sseq2 2961 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  C_  C_  {  { (/) }  |  }
97, 8orbi12d 706 . . . . . 6  { 
{ (/) }  |  }  C_  {  { (/) }  |  }  C_  {  { (/) }  |  }
10 eleq2 2098 . . . . . . 7  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
11 sseq1 2960 . . . . . . 7  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
1210, 11orbi12d 706 . . . . . 6  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }  C_  { 
{ (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
139, 12rspc2va 2657 . . . . 5  { 
{ (/) }  |  }  On  { (/)
}  On  On  On  C_  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  C_  {  { (/) }  |  }
142, 6, 13mpanl12 412 . . . 4  On  On  C_  {  { (/) }  |  }  {
(/) }  { (/) } 
C_  { 
{ (/) }  |  }
151, 14ax-mp 7 . . 3  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
16 elsni 3391 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  (/)
17 ordtriexmidlem2 4209 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  (/)
1816, 17syl 14 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
19 snssg 3491 . . . . . 6  (/)  On  (/)  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
204, 19ax-mp 7 . . . . 5  (/)  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  C_  {  { (/) }  |  }
21 0ex 3875 . . . . . . . 8  (/)  _V
2221snid 3394 . . . . . . 7  (/)  { (/)
}
23 biidd 161 . . . . . . . 8  (/)
2423elrab3 2693 . . . . . . 7  (/)  { (/) }  (/)  {  { (/)
}  |  }
2522, 24ax-mp 7 . . . . . 6  (/)  {  { (/)
}  |  }
2625biimpi 113 . . . . 5  (/)  {  { (/)
}  |  }
2720, 26sylbir 125 . . . 4  { (/)
}  C_  {  { (/) }  |  }
2818, 27orim12i 675 . . 3  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  { (/)
}  C_  {  { (/) }  |  }
2915, 28ax-mp 7 . 2
30 orcom 646 . 2
3129, 30mpbi 133 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   Oncon0 4066   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator