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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ordsoexmid | Unicode version |
Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.) |
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ordsoexmid.1 |
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ordsoexmid |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ordtriexmidlem 4245 |
. . . . 5
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2 | 1 | elexi 2567 |
. . . 4
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3 | 2 | sucid 4154 |
. . 3
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4 | 1 | onsuci 4242 |
. . . 4
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5 | suc0 4148 |
. . . . 5
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6 | 0elon 4129 |
. . . . . 6
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7 | 6 | onsuci 4242 |
. . . . 5
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8 | 5, 7 | eqeltrri 2111 |
. . . 4
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9 | eleq1 2100 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | 3anbi1d 1211 |
. . . . . 6
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11 | eleq1 2100 |
. . . . . . 7
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12 | eleq1 2100 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | orbi1d 705 |
. . . . . . 7
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14 | 11, 13 | imbi12d 223 |
. . . . . 6
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15 | 10, 14 | imbi12d 223 |
. . . . 5
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16 | 4 | elexi 2567 |
. . . . . 6
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17 | eleq1 2100 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | 3anbi2d 1212 |
. . . . . . 7
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19 | eleq2 2101 |
. . . . . . . 8
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20 | eleq2 2101 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | orbi2d 704 |
. . . . . . . 8
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22 | 19, 21 | imbi12d 223 |
. . . . . . 7
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23 | 18, 22 | imbi12d 223 |
. . . . . 6
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24 | p0ex 3939 |
. . . . . . 7
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25 | eleq1 2100 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | 3anbi3d 1213 |
. . . . . . . 8
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27 | eleq2 2101 |
. . . . . . . . . 10
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28 | eleq1 2100 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | orbi12d 707 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | imbi2d 219 |
. . . . . . . 8
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31 | 26, 30 | imbi12d 223 |
. . . . . . 7
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32 | ordsoexmid.1 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | df-iso 4034 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 32, 33 | mpbi 133 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | simpri 106 |
. . . . . . . . 9
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36 | epel 4029 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | epel 4029 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | epel 4029 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 37, 38 | orbi12i 681 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 36, 39 | imbi12i 228 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | 2ralbii 2332 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | ralbii 2330 |
. . . . . . . . 9
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43 | 35, 42 | mpbi 133 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | rspec3 2409 |
. . . . . . 7
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45 | 24, 31, 44 | vtocl 2608 |
. . . . . 6
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46 | 16, 23, 45 | vtocl 2608 |
. . . . 5
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47 | 2, 15, 46 | vtocl 2608 |
. . . 4
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48 | 1, 4, 8, 47 | mp3an 1232 |
. . 3
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49 | 2 | elsn 3391 |
. . . . 5
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50 | ordtriexmidlem2 4246 |
. . . . 5
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51 | 49, 50 | sylbi 114 |
. . . 4
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52 | elirr 4266 |
. . . . . . 7
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53 | elrabi 2695 |
. . . . . . 7
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54 | 52, 53 | mto 588 |
. . . . . 6
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55 | elsuci 4140 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ord 643 |
. . . . . 6
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57 | 54, 56 | mpi 15 |
. . . . 5
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58 | 0ex 3884 |
. . . . . . 7
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59 | biidd 161 |
. . . . . . 7
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60 | 58, 59 | rabsnt 3445 |
. . . . . 6
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61 | 60 | eqcoms 2043 |
. . . . 5
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62 | 57, 61 | syl 14 |
. . . 4
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63 | 51, 62 | orim12i 676 |
. . 3
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64 | 3, 48, 63 | mp2b 8 |
. 2
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65 | orcom 647 |
. 2
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66 | 64, 65 | mpbi 133 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-3an 887 df-tru 1246 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-ral 2311 df-rex 2312 df-rab 2315 df-v 2559 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-br 3765 df-opab 3819 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 |
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