Theorem ordsoexmid 4240

Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsoexmid.1	|- _E Or On

Assertion

Ref	Expression
ordsoexmid	|- (ph \/ -. ph)

Proof of Theorem ordsoexmid

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4208	. . . . 5 |- {w e. { (/) } | ph } e. On
2	1	elexi 2561	. . . 4 |- {w e. { (/) } | ph } e. _V
3	2	sucid 4120	. . 3 |- {w e. { (/) } | ph } e. suc {w e. { (/) } | ph }
4	1	onsuci 4207	. . . 4 |- suc {w e. { (/) } | ph } e. On
5		suc0 4114	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
6		0elon 4095	. . . . . 6 |- (/) e. On
7	6	onsuci 4207	. . . . 5 |- suc (/) e. On
8	5, 7	eqeltrri 2108	. . . 4 |- { (/) } e. On
9		eleq1 2097	. . . . . . 7 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> (x e. On <-> {w e. { (/) } | ph } e. On))
10	9	3anbi1d 1210	. . . . . 6 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> ((x e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On) <-> ( {w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On)))
11		eleq1 2097	. . . . . . 7 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> (x e. suc {w e. { (/) } | ph } <-> {w e. { (/) } | ph } e. suc {w e. { (/) } | ph }))
12		eleq1 2097	. . . . . . . 8 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> (x e. { (/) } <-> {w e. { (/) } | ph } e. { (/) }))
13	12	orbi1d 704	. . . . . . 7 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> ((x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }) <-> ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })))
14	11, 13	imbi12d 223	. . . . . 6 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> ((x e. suc {w e. { (/) } | ph } -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })) <-> ( {w e. { (/) } | ph } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }))))
15	10, 14	imbi12d 223	. . . . 5 |- (x = {w e. { (/) } | ph } -> (((x e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On) -> (x e. suc {w e. { (/) } | ph } -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }))) <-> (( {w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On) -> ( {w e. { (/) } | ph } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })))))
16	4	elexi 2561	. . . . . 6 |- suc {w e. { (/) } | ph } e. _V
17		eleq1 2097	. . . . . . . 8 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> (y e. On <-> suc {w e. { (/) } | ph } e. On))
18	17	3anbi2d 1211	. . . . . . 7 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> ((x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On) <-> (x e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On)))
19		eleq2 2098	. . . . . . . 8 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> (x e. y <-> x e. suc {w e. { (/) } | ph }))
20		eleq2 2098	. . . . . . . . 9 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. y <-> { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }))
21	20	orbi2d 703	. . . . . . . 8 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> ((x e. { (/) } \/ { (/) } e. y) <-> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })))
22	19, 21	imbi12d 223	. . . . . . 7 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> ((x e. y -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. y)) <-> (x e. suc {w e. { (/) } | ph } -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }))))
23	18, 22	imbi12d 223	. . . . . 6 |- (y = suc {w e. { (/) } | ph } -> (((x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On) -> (x e. y -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. y))) <-> ((x e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On) -> (x e. suc {w e. { (/) } | ph } -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })))))
24		p0ex 3930	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
25		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 |- (z = { (/) } -> (z e. On <-> { (/) } e. On))
26	25	3anbi3d 1212	. . . . . . . 8 |- (z = { (/) } -> ((x e. On /\ y e. On /\ z e. On) <-> (x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On)))
27		eleq2 2098	. . . . . . . . . 10 |- (z = { (/) } -> (x e. z <-> x e. { (/) }))
28		eleq1 2097	. . . . . . . . . 10 |- (z = { (/) } -> (z e. y <-> { (/) } e. y))
29	27, 28	orbi12d 706	. . . . . . . . 9 |- (z = { (/) } -> ((x e. z \/ z e. y) <-> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. y)))
30	29	imbi2d 219	. . . . . . . 8 |- (z = { (/) } -> ((x e. y -> (x e. z \/ z e. y)) <-> (x e. y -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. y))))
31	26, 30	imbi12d 223	. . . . . . 7 |- (z = { (/) } -> (((x e. On /\ y e. On /\ z e. On) -> (x e. y -> (x e. z \/ z e. y))) <-> ((x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On) -> (x e. y -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. y)))))
32		ordsoexmid.1	. . . . . . . . . . 11 |- _E Or On
33		df-iso 4025	. . . . . . . . . . 11 |- ( _E Or On <-> ( _E Po On /\ A.x e. On A.y e. On A.z e. On (x _E y -> (x _E z \/ z _E y))))
34	32, 33	mpbi 133	. . . . . . . . . 10 |- ( _E Po On /\ A.x e. On A.y e. On A.z e. On (x _E y -> (x _E z \/ z _E y)))
35	34	simpri 106	. . . . . . . . 9 |- A.x e. On A.y e. On A.z e. On (x _E y -> (x _E z \/ z _E y))
36		epel 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- (x _E y <-> x e. y)
37		epel 4020	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x _E z <-> x e. z)
38		epel 4020	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z _E y <-> z e. y)
39	37, 38	orbi12i 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x _E z \/ z _E y) <-> (x e. z \/ z e. y))
40	36, 39	imbi12i 228	. . . . . . . . . . 11 |- ((x _E y -> (x _E z \/ z _E y)) <-> (x e. y -> (x e. z \/ z e. y)))
41	40	2ralbii 2326	. . . . . . . . . 10 |- (A.y e. On A.z e. On (x _E y -> (x _E z \/ z _E y)) <-> A.y e. On A.z e. On (x e. y -> (x e. z \/ z e. y)))
42	41	ralbii 2324	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. On A.y e. On A.z e. On (x _E y -> (x _E z \/ z _E y)) <-> A.x e. On A.y e. On A.z e. On (x e. y -> (x e. z \/ z e. y)))
43	35, 42	mpbi 133	. . . . . . . 8 |- A.x e. On A.y e. On A.z e. On (x e. y -> (x e. z \/ z e. y))
44	43	rspec3 2403	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ y e. On /\ z e. On) -> (x e. y -> (x e. z \/ z e. y)))
45	24, 31, 44	vtocl 2602	. . . . . 6 |- ((x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On) -> (x e. y -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. y)))
46	16, 23, 45	vtocl 2602	. . . . 5 |- ((x e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On) -> (x e. suc {w e. { (/) } | ph } -> (x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })))
47	2, 15, 46	vtocl 2602	. . . 4 |- (( {w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc {w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On) -> ( {w e. { (/) } | ph } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph })))
48	1, 4, 8, 47	mp3an 1231	. . 3 |- ( {w e. { (/) } | ph } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }))
49	2	elsnc 3390	. . . . 5 |- ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } <-> {w e. { (/) } | ph } = (/))
50		ordtriexmidlem2 4209	. . . . 5 |- ( {w e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph)
51	49, 50	sylbi 114	. . . 4 |- ( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph)
52		elirr 4224	. . . . . . 7 |- -. { (/) } e. { (/) }
53		elrabi 2689	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. {w e. { (/) } | ph } -> { (/) } e. { (/) })
54	52, 53	mto 587	. . . . . 6 |- -. { (/) } e. {w e. { (/) } | ph }
55		elsuci 4106	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. {w e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = {w e. { (/) } | ph }))
56	55	ord 642	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> (-. { (/) } e. {w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = {w e. { (/) } | ph }))
57	54, 56	mpi 15	. . . . 5 |- ( { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = {w e. { (/) } | ph })
58		0ex 3875	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
59		biidd 161	. . . . . . 7 |- (w = (/) -> (ph <-> ph))
60	58, 59	rabsnt 3436	. . . . . 6 |- ( {w e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph)
61	60	eqcoms 2040	. . . . 5 |- ( { (/) } = {w e. { (/) } | ph } -> ph)
62	57, 61	syl 14	. . . 4 |- ( { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph } -> ph)
63	51, 62	orim12i 675	. . 3 |- (( {w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc {w e. { (/) } | ph }) -> (-. ph \/ ph))
64	3, 48, 63	mp2b 8	. 2 |- (-. ph \/ ph)
65		orcom 646	. 2 |- ((-. ph \/ ph) <-> (ph \/ -. ph))
66	64, 65	mpbi 133	1 |- (ph \/ -. ph)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 628   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390  A.wral 2300   {crab 2304   (/)c0 3218   {csn 3367   class class class wbr 3755   _E cep 4015   Po wpo 4022   Or wor 4023   Oncon0 4066   suc csuc 4068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074

This theorem is referenced by: (None)