Theorem ordsoexmid 4286

Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsoexmid.1	|- _E Or On

Assertion

Ref	Expression
ordsoexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Proof of Theorem ordsoexmid

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4245	. . . . 5 |- { w e. { (/) } | ph } e. On
2	1	elexi 2567	. . . 4 |- { w e. { (/) } | ph } e. _V
3	2	sucid 4154	. . 3 |- { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph }
4	1	onsuci 4242	. . . 4 |- suc { w e. { (/) } | ph } e. On
5		suc0 4148	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
6		0elon 4129	. . . . . 6 |- (/) e. On
7	6	onsuci 4242	. . . . 5 |- suc (/) e. On
8	5, 7	eqeltrri 2111	. . . 4 |- { (/) } e. On
9		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. On <-> { w e. { (/) } | ph } e. On ) )
10	9	3anbi1d 1211	. . . . . 6 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
11		eleq1 2100	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } <-> { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
12		eleq1 2100	. . . . . . . 8 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } <-> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } ) )
13	12	orbi1d 705	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
14	11, 13	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) )
15	10, 14	imbi12d 223	. . . . 5 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) ) )
16	4	elexi 2567	. . . . . 6 |- suc { w e. { (/) } | ph } e. _V
17		eleq1 2100	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( y e. On <-> suc { w e. { (/) } | ph } e. On ) )
18	17	3anbi2d 1212	. . . . . . 7 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) <-> ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
19		eleq2 2101	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> x e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
20		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. y <-> { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
21	20	orbi2d 704	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) <-> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
22	19, 21	imbi12d 223	. . . . . . 7 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) <-> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 223	. . . . . 6 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) ) )
24		p0ex 3939	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
25		eleq1 2100	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z e. On <-> { (/) } e. On ) )
26	25	3anbi3d 1213	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) <-> ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
27		eleq2 2101	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( x e. z <-> x e. { (/) } ) )
28		eleq1 2100	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( z e. y <-> { (/) } e. y ) )
29	27, 28	orbi12d 707	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. z \/ z e. y ) <-> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) )
30	29	imbi2d 219	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) )
31	26, 30	imbi12d 223	. . . . . . 7 |- ( z = { (/) } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) ) )
32		ordsoexmid.1	. . . . . . . . . . 11 |- _E Or On
33		df-iso 4034	. . . . . . . . . . 11 |- ( _E Or On <-> ( _E Po On /\ A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) ) )
34	32, 33	mpbi 133	. . . . . . . . . 10 |- ( _E Po On /\ A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) )
35	34	simpri 106	. . . . . . . . 9 |- A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) )
36		epel 4029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x _E y <-> x e. y )
37		epel 4029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x _E z <-> x e. z )
38		epel 4029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _E y <-> z e. y )
39	37, 38	orbi12i 681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x _E z \/ z _E y ) <-> ( x e. z \/ z e. y ) )
40	36, 39	imbi12i 228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
41	40	2ralbii 2332	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
42	41	ralbii 2330	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
43	35, 42	mpbi 133	. . . . . . . 8 |- A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) )
44	43	rspec3 2409	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
45	24, 31, 44	vtocl 2608	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) )
46	16, 23, 45	vtocl 2608	. . . . 5 |- ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
47	2, 15, 46	vtocl 2608	. . . 4 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
48	1, 4, 8, 47	mp3an 1232	. . 3 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
49	2	elsn 3391	. . . . 5 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } <-> { w e. { (/) } | ph } = (/) )
50		ordtriexmidlem2 4246	. . . . 5 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
51	49, 50	sylbi 114	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
52		elirr 4266	. . . . . . 7 |- -. { (/) } e. { (/) }
53		elrabi 2695	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } e. { (/) } )
54	52, 53	mto 588	. . . . . 6 |- -. { (/) } e. { w e. { (/) } | ph }
55		elsuci 4140	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { w e. { (/) } | ph } ) )
56	55	ord 643	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( -. { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = { w e. { (/) } | ph } ) )
57	54, 56	mpi 15	. . . . 5 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = { w e. { (/) } | ph } )
58		0ex 3884	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
59		biidd 161	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ph <-> ph ) )
60	58, 59	rabsnt 3445	. . . . . 6 |- ( { w e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
61	60	eqcoms 2043	. . . . 5 |- ( { (/) } = { w e. { (/) } | ph } -> ph )
62	57, 61	syl 14	. . . 4 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ph )
63	51, 62	orim12i 676	. . 3 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
64	3, 48, 63	mp2b 8	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
65		orcom 647	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
66	64, 65	mpbi 133	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   {crab 2310   (/)c0 3224   {csn 3375   class class class wbr 3764   _E cep 4024   Po wpo 4031   Or wor 4032   Oncon0 4100   suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108

This theorem is referenced by: (None)