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Theorem ordsoexmid 4240
Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordsoexmid.1  _E  Or  On
Assertion
Ref Expression
ordsoexmid

Proof of Theorem ordsoexmid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtriexmidlem 4208 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  On
21elexi 2561 . . . 4  {  { (/) }  |  }  _V
32sucid 4120 . . 3  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  }
41onsuci 4207 . . . 4  suc  {  { (/) }  |  }  On
5 suc0 4114 . . . . 5  suc  (/)  { (/)
}
6 0elon 4095 . . . . . 6  (/)  On
76onsuci 4207 . . . . 5  suc  (/)  On
85, 7eqeltrri 2108 . . . 4  { (/) }  On
9 eleq1 2097 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  On  { 
{ (/) }  |  }  On
1093anbi1d 1210 . . . . . 6  { 
{ (/) }  |  }  On  suc  {  { (/) }  |  }  On  { (/) }  On  {  { (/) }  |  }  On  suc  {  { (/)
}  |  }  On  { (/) }  On
11 eleq1 2097 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  } 
suc  {  { (/)
}  |  }  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/)
}  |  }
12 eleq1 2097 . . . . . . . 8  { 
{ (/) }  |  } 
{ (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }
1312orbi1d 704 . . . . . . 7  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  suc  {  { (/) }  |  }  { 
{ (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  suc  {  { (/) }  |  }
1411, 13imbi12d 223 . . . . . 6  { 
{ (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  } 
{ (/) }  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  suc  {  { (/)
}  |  }
1510, 14imbi12d 223 . . . . 5  { 
{ (/) }  |  }  On  suc  {  { (/)
}  |  }  On  { (/) }  On  suc  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  suc  {  { (/)
}  |  }  {  { (/)
}  |  }  On  suc  {  { (/) }  |  }  On  {
(/) }  On  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  suc  {  { (/) }  |  }
164elexi 2561 . . . . . 6  suc  {  { (/) }  |  }  _V
17 eleq1 2097 . . . . . . . 8  suc  {  { (/) }  |  }  On  suc  {  { (/) }  |  }  On
18173anbi2d 1211 . . . . . . 7  suc  {  { (/) }  |  }  On  On  { (/) }  On  On  suc  {  { (/) }  |  }  On  { (/) }  On
19 eleq2 2098 . . . . . . . 8  suc  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  }
20 eleq2 2098 . . . . . . . . 9  suc  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  suc  {  { (/) }  |  }
2120orbi2d 703 . . . . . . . 8  suc  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  { (/)
}  { (/) }  suc  {  { (/) }  |  }
2219, 21imbi12d 223 . . . . . . 7  suc  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  suc  { 
{ (/) }  |  } 
{ (/) }  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }
2318, 22imbi12d 223 . . . . . 6  suc  {  { (/) }  |  }  On  On  { (/)
}  On  { (/)
}  { (/) }  On  suc  {  { (/) }  |  }  On  { (/) }  On  suc  {  { (/) }  |  } 
{ (/) }  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }
24 p0ex 3930 . . . . . . 7  { (/) }  _V
25 eleq1 2097 . . . . . . . . 9  { (/) }  On  { (/) }  On
26253anbi3d 1212 . . . . . . . 8  { (/) }  On  On  On  On  On  {
(/) }  On
27 eleq2 2098 . . . . . . . . . 10  { (/) }  { (/) }
28 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  { (/) }  { (/) }
2927, 28orbi12d 706 . . . . . . . . 9  { (/) } 
{ (/) }  { (/)
}
3029imbi2d 219 . . . . . . . 8  { (/) }  { (/) }  {
(/) }
3126, 30imbi12d 223 . . . . . . 7  { (/) }  On  On  On  On  On  { (/)
}  On  { (/)
}  { (/) }
32 ordsoexmid.1 . . . . . . . . . . 11  _E  Or  On
33 df-iso 4025 . . . . . . . . . . 11  _E  Or  On  _E  Po  On  On  On  On  _E  _E  _E
3432, 33mpbi 133 . . . . . . . . . 10  _E  Po  On  On  On  On  _E  _E  _E
3534simpri 106 . . . . . . . . 9  On  On  On  _E  _E  _E
36 epel 4020 . . . . . . . . . . . 12  _E
37 epel 4020 . . . . . . . . . . . . 13  _E
38 epel 4020 . . . . . . . . . . . . 13  _E
3937, 38orbi12i 680 . . . . . . . . . . . 12  _E  _E
4036, 39imbi12i 228 . . . . . . . . . . 11  _E  _E  _E
41402ralbii 2326 . . . . . . . . . 10  On  On  _E  _E  _E  On  On
4241ralbii 2324 . . . . . . . . 9  On  On  On  _E  _E  _E  On  On  On
4335, 42mpbi 133 . . . . . . . 8  On  On  On
4443rspec3 2403 . . . . . . 7  On  On  On
4524, 31, 44vtocl 2602 . . . . . 6  On  On  { (/)
}  On  { (/)
}  { (/) }
4616, 23, 45vtocl 2602 . . . . 5  On  suc  {  { (/)
}  |  }  On  { (/) }  On  suc  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  suc  {  { (/)
}  |  }
472, 15, 46vtocl 2602 . . . 4  {  { (/)
}  |  }  On  suc  {  { (/) }  |  }  On  {
(/) }  On  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }  suc  {  { (/) }  |  }
481, 4, 8, 47mp3an 1231 . . 3  {  { (/) }  |  }  suc  {  { (/) }  |  }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { (/) }  suc  {  { (/)
}  |  }
492elsnc 3390 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/)
}  |  }  (/)
50 ordtriexmidlem2 4209 . . . . 5  {  { (/) }  |  }  (/)
5149, 50sylbi 114 . . . 4  {  { (/) }  |  }  { (/) }
52 elirr 4224 . . . . . . 7  { (/)
}  { (/) }
53 elrabi 2689 . . . . . . 7  { (/)
}  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {
(/) }
5452, 53mto 587 . . . . . 6  { (/)
}  {  { (/) }  |  }
55 elsuci 4106 . . . . . . 7  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }  { (/)
}  {  { (/) }  |  }  { (/) }  {  { (/) }  |  }
5655ord 642 . . . . . 6  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  } 
{ (/) }  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }
5754, 56mpi 15 . . . . 5  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }  { (/) }  { 
{ (/) }  |  }
58 0ex 3875 . . . . . . 7  (/)  _V
59 biidd 161 . . . . . . 7  (/)
6058, 59rabsnt 3436 . . . . . 6  {  { (/) }  |  }  { (/) }
6160eqcoms 2040 . . . . 5  { (/)
}  {  { (/) }  |  }
6257, 61syl 14 . . . 4  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }
6351, 62orim12i 675 . . 3  {  { (/)
}  |  }  { (/) }  { (/)
}  suc  {  { (/) }  |  }
643, 48, 63mp2b 8 . 2
65 orcom 646 . 2
6664, 65mpbi 133 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304   (/)c0 3218   {csn 3367   class class class wbr 3755    _E cep 4015    Po wpo 4022    Or wor 4023   Oncon0 4066   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074
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