ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldmtpos Unicode version

Theorem reldmtpos 5809
Description: Necessary and sufficient condition for  dom tpos  F to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos  Rel 
dom tpos  F  (/)  dom  F

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3875 . . . . 5  (/)  _V
21eldm 4475 . . . 4  (/)  dom  F  (/) F
3 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
4 brtpos0 5808 . . . . . . 7  _V  (/)tpos  F  (/) F
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6  (/)tpos  F  (/) F
6 0nelxp 4315 . . . . . . . 8  (/)  _V  X.  _V
7 df-rel 4295 . . . . . . . . 9  Rel 
dom tpos  F  dom tpos  F  C_  _V  X.  _V
8 ssel 2933 . . . . . . . . 9  dom tpos  F  C_  _V  X.  _V  (/)  dom tpos  F  (/)  _V  X.  _V
97, 8sylbi 114 . . . . . . . 8  Rel 
dom tpos  F  (/)  dom tpos  F  (/)  _V  X.  _V
106, 9mtoi 589 . . . . . . 7  Rel 
dom tpos  F  (/)  dom tpos  F
111, 3breldm 4482 . . . . . . 7  (/)tpos  F  (/)  dom tpos  F
1210, 11nsyl3 556 . . . . . 6  (/)tpos  F  Rel  dom tpos  F
135, 12sylbir 125 . . . . 5  (/) F  Rel  dom tpos  F
1413exlimiv 1486 . . . 4  (/) F  Rel  dom tpos  F
152, 14sylbi 114 . . 3  (/)  dom  F  Rel  dom tpos  F
1615con2i 557 . 2  Rel 
dom tpos  F  (/)  dom  F
17 vex 2554 . . . . . 6 
_V
1817eldm 4475 . . . . 5  dom tpos  F tpos  F
19 relcnv 4646 . . . . . . . . . . 11  Rel  `' dom  F
20 df-rel 4295 . . . . . . . . . . 11  Rel  `' dom  F  `' dom  F 
C_  _V  X.  _V
2119, 20mpbi 133 . . . . . . . . . 10  `' dom  F 
C_  _V  X.  _V
2221sseli 2935 . . . . . . . . 9  `' dom  F  _V 
X.  _V
2322a1i 9 . . . . . . . 8  (/)  dom  F tpos  F  `' dom  F  _V  X.  _V
24 elsni 3391 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  (/)
2524breq1d 3765 . . . . . . . . . . 11  { (/) } tpos  F  (/)tpos  F
261, 3breldm 4482 . . . . . . . . . . . . 13  (/) F  (/)  dom  F
2726pm2.24d 552 . . . . . . . . . . . 12  (/) F  (/)  dom  F  _V 
X.  _V
285, 27sylbi 114 . . . . . . . . . . 11  (/)tpos  F  (/)  dom  F  _V  X.  _V
2925, 28syl6bi 152 . . . . . . . . . 10  { (/) } tpos  F  (/)  dom  F  _V 
X.  _V
3029com3l 75 . . . . . . . . 9 tpos 
F  (/)  dom  F  { (/)
}  _V  X.  _V
3130impcom 116 . . . . . . . 8  (/)  dom  F tpos  F  { (/)
}  _V  X.  _V
32 brtpos2 5807 . . . . . . . . . . . 12  _V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
333, 32ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 tpos 
F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
3433simplbi 259 . . . . . . . . . 10 tpos 
F  `' dom  F  u.  { (/) }
35 elun 3078 . . . . . . . . . 10  `' dom  F  u.  { (/) }  `' dom  F 
{ (/) }
3634, 35sylib 127 . . . . . . . . 9 tpos 
F  `' dom  F  { (/)
}
3736adantl 262 . . . . . . . 8  (/)  dom  F tpos  F  `' dom  F 
{ (/) }
3823, 31, 37mpjaod 637 . . . . . . 7  (/)  dom  F tpos  F  _V 
X.  _V
3938ex 108 . . . . . 6  (/)  dom  F tpos  F  _V  X.  _V
4039exlimdv 1697 . . . . 5  (/)  dom  F tpos  F  _V  X.  _V
4118, 40syl5bi 141 . . . 4  (/)  dom  F  dom tpos  F  _V 
X.  _V
4241ssrdv 2945 . . 3  (/)  dom  F 
dom tpos  F  C_  _V  X.  _V
4342, 7sylibr 137 . 2  (/)  dom  F 
Rel  dom tpos  F
4416, 43impbii 117 1  Rel 
dom tpos  F  (/)  dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  dmtpos  5812
  Copyright terms: Public domain W3C validator