Theorem 0nelxp 4372

Description: The empty set is not a member of a cross product. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0nelxp	|- -. (/) e. ( A X. B )

Proof of Theorem 0nelxp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opnzi 3972	. . . . 5 |- <. x , y >. =/= (/)
4		simpl 102	. . . . . . 7 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> (/) = <. x , y >. )
5	4	eqcomd 2045	. . . . . 6 |- ( ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> <. x , y >. = (/) )
6	5	necon3ai 2254	. . . . 5 |- ( <. x , y >. =/= (/) -> -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
7	3, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- -. ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
8	7	nex 1389	. . 3 |- -. E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
9	8	nex 1389	. 2 |- -. E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) )
10		elxp 4362	. 2 |- ( (/) e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( (/) = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
11	9, 10	mtbir 596	1 |- -. (/) e. ( A X. B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   =/= wne 2204   (/)c0 3224   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  dmsn0  4788  nfunv  4933  reldmtpos  5868  dmtpos  5871  0ncn  6908