ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmtpos Unicode version

Theorem dmtpos 5812
Description: The domain of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos  Rel 
dom  F  dom tpos  F  `' dom  F

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4315 . . . . 5  (/)  _V  X.  _V
2 ssel 2933 . . . . 5  dom 
F  C_  _V  X.  _V  (/)  dom  F  (/)  _V  X.  _V
31, 2mtoi 589 . . . 4  dom 
F  C_  _V  X.  _V  (/)  dom  F
4 df-rel 4295 . . . 4  Rel 
dom  F  dom  F  C_  _V  X.  _V
5 reldmtpos 5809 . . . 4  Rel 
dom tpos  F  (/)  dom  F
63, 4, 53imtr4i 190 . . 3  Rel 
dom  F  Rel  dom tpos  F
7 relcnv 4646 . . 3  Rel  `' dom  F
86, 7jctir 296 . 2  Rel 
dom  F  Rel  dom tpos  F  Rel  `' dom  F
9 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
10 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
11 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
12 brtposg 5810 . . . . . . 7  _V  _V  _V  <. ,  >.tpos  F  <. ,  >. F
139, 10, 11, 12mp3an 1231 . . . . . 6  <. ,  >.tpos  F 
<. ,  >. F
1413a1i 9 . . . . 5  Rel 
dom  F  <. ,  >.tpos  F  <. ,  >. F
1514exbidv 1703 . . . 4  Rel 
dom  F  <. , 
>.tpos  F  <. ,  >. F
169, 10opex 3957 . . . . 5  <. ,  >.  _V
1716eldm 4475 . . . 4  <. ,  >.  dom tpos  F  <. ,  >.tpos  F
189, 10opelcnv 4460 . . . . 5  <. ,  >.  `' dom  F  <. ,  >.  dom  F
1910, 9opex 3957 . . . . . 6  <. ,  >.  _V
2019eldm 4475 . . . . 5  <. ,  >.  dom  F  <. ,  >. F
2118, 20bitri 173 . . . 4  <. ,  >.  `' dom  F  <. ,  >. F
2215, 17, 213bitr4g 212 . . 3  Rel 
dom  F  <. ,  >. 
dom tpos  F  <. , 
>.  `' dom  F
2322eqrelrdv2 4382 . 2  Rel  dom tpos  F  Rel  `' dom  F  Rel  dom  F 
dom tpos  F  `' dom  F
248, 23mpancom 399 1  Rel 
dom  F  dom tpos  F  `' dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  rntpos  5813  dftpos2  5817  dftpos3  5818  tposfn2  5822
  Copyright terms: Public domain W3C validator