Theorem dmtpos 5871

Description: The domain of tpos F when dom F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	|- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4372	. . . . 5 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		ssel 2939	. . . . 5 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( (/) e. dom F -> (/) e. ( _V X. _V ) ) )
3	1, 2	mtoi 590	. . . 4 |- ( dom F C_ ( _V X. _V ) -> -. (/) e. dom F )
4		df-rel 4352	. . . 4 |- ( Rel dom F <-> dom F C_ ( _V X. _V ) )
5		reldmtpos 5868	. . . 4 |- ( Rel dom tpos F <-> -. (/) e. dom F )
6	3, 4, 5	3imtr4i 190	. . 3 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F )
7		relcnv 4703	. . 3 |- Rel `' dom F
8	6, 7	jctir 296	. 2 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) )
9		vex 2560	. . . . . . 7 |- x e. _V
10		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
11		vex 2560	. . . . . . 7 |- z e. _V
12		brtposg 5869	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1232	. . . . . 6 |- ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z )
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >.tpos F z <-> <. y , x >. F z ) )
15	14	exbidv 1706	. . . 4 |- ( Rel dom F -> ( E. z <. x , y >.tpos F z <-> E. z <. y , x >. F z ) )
16	9, 10	opex 3966	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
17	16	eldm 4532	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> E. z <. x , y >.tpos F z )
18	9, 10	opelcnv 4517	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> <. y , x >. e. dom F )
19	10, 9	opex 3966	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
20	19	eldm 4532	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
21	18, 20	bitri 173	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' dom F <-> E. z <. y , x >. F z )
22	15, 17, 21	3bitr4g 212	. . 3 |- ( Rel dom F -> ( <. x , y >. e. dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom F ) )
23	22	eqrelrdv2 4439	. 2 |- ( ( ( Rel dom tpos F /\ Rel `' dom F ) /\ Rel dom F ) -> dom tpos F = `' dom F )
24	8, 23	mpancom 399	1 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   (/)c0 3224   <.cop 3378   class class class wbr 3764   X. cxp 4343   `'ccnv 4344   dom cdm 4345   Rel wrel 4350  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by:  rntpos  5872  dftpos2  5876  dftpos3  5877  tposfn2  5881