Theorem dftpos3 5818

Description: Alternate definition of tpos when F has relational domain. Compare df-cnv 4296. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos3	|- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <.x , y >. , z >. | <.y , x >. Fz })

Distinct variable group:   x,y,z, F

Proof of Theorem dftpos3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4646	. . . . . . . . . 10 |- Rel `' dom F
2		dmtpos 5812	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel dom F -> dom tpos F = `' dom F)
3	2	releqd 4367	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel dom F -> ( Rel dom tpos F <-> Rel `' dom F))
4	1, 3	mpbiri 157	. . . . . . . . 9 |- ( Rel dom F -> Rel dom tpos F)
5		reltpos 5806	. . . . . . . . 9 |- Rel tpos F
6	4, 5	jctil 295	. . . . . . . 8 |- ( Rel dom F -> ( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F))
7		relrelss 4787	. . . . . . . 8 |- (( Rel tpos F /\ Rel dom tpos F) <-> tpos F C_ (( _V X. _V) X. _V))
8	6, 7	sylib 127	. . . . . . 7 |- ( Rel dom F -> tpos F C_ (( _V X. _V) X. _V))
9	8	sseld 2938	. . . . . 6 |- ( Rel dom F -> (w e. tpos F -> w e. (( _V X. _V) X. _V)))
10		elvvv 4346	. . . . . 6 |- (w e. (( _V X. _V) X. _V) <-> E.xE.yE.z w = <. <.x , y >. , z >.)
11	9, 10	syl6ib 150	. . . . 5 |- ( Rel dom F -> (w e. tpos F -> E.xE.yE.z w = <. <.x , y >. , z >.))
12	11	pm4.71rd 374	. . . 4 |- ( Rel dom F -> (w e. tpos F <-> (E.xE.yE.z w = <. <.x , y >. , z >. /\ w e. tpos F)))
13		19.41vvv 1781	. . . . 5 |- (E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ w e. tpos F) <-> (E.xE.yE.z w = <. <.x , y >. , z >. /\ w e. tpos F))
14		eleq1 2097	. . . . . . . 8 |- (w = <. <.x , y >. , z >. -> (w e. tpos F <-> <. <.x , y >. , z >. e. tpos F))
15		df-br 3756	. . . . . . . . 9 |- ( <.x , y >.tpos Fz <-> <. <.x , y >. , z >. e. tpos F)
16		vex 2554	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
17		vex 2554	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
18		vex 2554	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
19		brtposg 5810	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. _V /\ y e. _V /\ z e. _V) -> ( <.x , y >.tpos Fz <-> <.y , x >. Fz))
20	16, 17, 18, 19	mp3an 1231	. . . . . . . . 9 |- ( <.x , y >.tpos Fz <-> <.y , x >. Fz)
21	15, 20	bitr3i 175	. . . . . . . 8 |- ( <. <.x , y >. , z >. e. tpos F <-> <.y , x >. Fz)
22	14, 21	syl6bb 185	. . . . . . 7 |- (w = <. <.x , y >. , z >. -> (w e. tpos F <-> <.y , x >. Fz))
23	22	pm5.32i 427	. . . . . 6 |- ((w = <. <.x , y >. , z >. /\ w e. tpos F) <-> (w = <. <.x , y >. , z >. /\ <.y , x >. Fz))
24	23	3exbii 1495	. . . . 5 |- (E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ w e. tpos F) <-> E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ <.y , x >. Fz))
25	13, 24	bitr3i 175	. . . 4 |- ((E.xE.yE.z w = <. <.x , y >. , z >. /\ w e. tpos F) <-> E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ <.y , x >. Fz))
26	12, 25	syl6bb 185	. . 3 |- ( Rel dom F -> (w e. tpos F <-> E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ <.y , x >. Fz)))
27	26	abbi2dv 2153	. 2 |- ( Rel dom F -> tpos F = {w | E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ <.y , x >. Fz) })
28		df-oprab 5459	. 2 |- { <. <.x , y >. , z >. | <.y , x >. Fz } = {w | E.xE.yE.z(w = <. <.x , y >. , z >. /\ <.y , x >. Fz) }
29	27, 28	syl6eqr 2087	1 |- ( Rel dom F -> tpos F = { <. <.x , y >. , z >. | <.y , x >. Fz })

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   {cab 2023   _Vcvv 2551   C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   {coprab 5456  tpos ctpos 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-tpos 5801

This theorem is referenced by:  tposoprab  5836