Theorem dmtpos 5871

Description: The domain of tpos 𝐹 when dom 𝐹 is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmtpos	⊢ (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = ◡dom 𝐹)

Proof of Theorem dmtpos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4372	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		ssel 2939	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
3	1, 2	mtoi 590	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ⊆ (V × V) → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
4		df-rel 4352	. . . 4 ⊢ (Rel dom 𝐹 ↔ dom 𝐹 ⊆ (V × V))
5		reldmtpos 5868	. . . 4 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
6	3, 4, 5	3imtr4i 190	. . 3 ⊢ (Rel dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
7		relcnv 4703	. . 3 ⊢ Rel ◡dom 𝐹
8	6, 7	jctir 296	. 2 ⊢ (Rel dom 𝐹 → (Rel dom tpos 𝐹 ∧ Rel ◡dom 𝐹))
9		vex 2560	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
10		vex 2560	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
11		vex 2560	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
12		brtposg 5869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩𝐹𝑧))
13	9, 10, 11, 12	mp3an 1232	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩𝐹𝑧)
14	13	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (Rel dom 𝐹 → (⟨𝑥, 𝑦⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩𝐹𝑧))
15	14	exbidv 1706	. . . 4 ⊢ (Rel dom 𝐹 → (∃𝑧⟨𝑥, 𝑦⟩tpos 𝐹𝑧 ↔ ∃𝑧⟨𝑦, 𝑥⟩𝐹𝑧))
16	9, 10	opex 3966	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
17	16	eldm 4532	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑧⟨𝑥, 𝑦⟩tpos 𝐹𝑧)
18	9, 10	opelcnv 4517	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡dom 𝐹 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom 𝐹)
19	10, 9	opex 3966	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ V
20	19	eldm 4532	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑧⟨𝑦, 𝑥⟩𝐹𝑧)
21	18, 20	bitri 173	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡dom 𝐹 ↔ ∃𝑧⟨𝑦, 𝑥⟩𝐹𝑧)
22	15, 17, 21	3bitr4g 212	. . 3 ⊢ (Rel dom 𝐹 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ◡dom 𝐹))
23	22	eqrelrdv2 4439	. 2 ⊢ (((Rel dom tpos 𝐹 ∧ Rel ◡dom 𝐹) ∧ Rel dom 𝐹) → dom tpos 𝐹 = ◡dom 𝐹)
24	8, 23	mpancom 399	1 ⊢ (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = ◡dom 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917  ∅c0 3224  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ^◡ccnv 4344  dom cdm 4345  Rel wrel 4350  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by:  rntpos  5872  dftpos2  5876  dftpos3  5877  tposfn2  5881