ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmtpos Structured version   GIF version

Theorem dmtpos 5812
Description: The domain of tpos 𝐹 when dom 𝐹 is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4315 . . . . 5 ¬ ∅ (V × V)
2 ssel 2933 . . . . 5 (dom 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ dom 𝐹 → ∅ (V × V)))
31, 2mtoi 589 . . . 4 (dom 𝐹 ⊆ (V × V) → ¬ ∅ dom 𝐹)
4 df-rel 4295 . . . 4 (Rel dom 𝐹 ↔ dom 𝐹 ⊆ (V × V))
5 reldmtpos 5809 . . . 4 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ dom 𝐹)
63, 4, 53imtr4i 190 . . 3 (Rel dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
7 relcnv 4646 . . 3 Rel dom 𝐹
86, 7jctir 296 . 2 (Rel dom 𝐹 → (Rel dom tpos 𝐹 Rel dom 𝐹))
9 vex 2554 . . . . . . 7 x V
10 vex 2554 . . . . . . 7 y V
11 vex 2554 . . . . . . 7 z V
12 brtposg 5810 . . . . . . 7 ((x V y V z V) → (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z))
139, 10, 11, 12mp3an 1231 . . . . . 6 (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z)
1413a1i 9 . . . . 5 (Rel dom 𝐹 → (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z))
1514exbidv 1703 . . . 4 (Rel dom 𝐹 → (zx, y⟩tpos 𝐹zzy, x𝐹z))
169, 10opex 3957 . . . . 5 x, y V
1716eldm 4475 . . . 4 (⟨x, y dom tpos 𝐹zx, y⟩tpos 𝐹z)
189, 10opelcnv 4460 . . . . 5 (⟨x, y dom 𝐹 ↔ ⟨y, x dom 𝐹)
1910, 9opex 3957 . . . . . 6 y, x V
2019eldm 4475 . . . . 5 (⟨y, x dom 𝐹zy, x𝐹z)
2118, 20bitri 173 . . . 4 (⟨x, y dom 𝐹zy, x𝐹z)
2215, 17, 213bitr4g 212 . . 3 (Rel dom 𝐹 → (⟨x, y dom tpos 𝐹 ↔ ⟨x, y dom 𝐹))
2322eqrelrdv2 4382 . 2 (((Rel dom tpos 𝐹 Rel dom 𝐹) Rel dom 𝐹) → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)
248, 23mpancom 399 1 (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  wss 2911  c0 3218  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ccnv 4287  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  rntpos  5813  dftpos2  5817  dftpos3  5818  tposfn2  5822
  Copyright terms: Public domain W3C validator