Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmtpos Structured version   GIF version

Theorem dmtpos 5793
 Description: The domain of tpos 𝐹 when dom 𝐹 is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmtpos (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)

Proof of Theorem dmtpos
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4299 . . . . 5 ¬ ∅ (V × V)
2 ssel 2916 . . . . 5 (dom 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ dom 𝐹 → ∅ (V × V)))
31, 2mtoi 577 . . . 4 (dom 𝐹 ⊆ (V × V) → ¬ ∅ dom 𝐹)
4 df-rel 4279 . . . 4 (Rel dom 𝐹 ↔ dom 𝐹 ⊆ (V × V))
5 reldmtpos 5790 . . . 4 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ dom 𝐹)
63, 4, 53imtr4i 190 . . 3 (Rel dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
7 relcnv 4630 . . 3 Rel dom 𝐹
86, 7jctir 296 . 2 (Rel dom 𝐹 → (Rel dom tpos 𝐹 Rel dom 𝐹))
9 vex 2538 . . . . . . 7 x V
10 vex 2538 . . . . . . 7 y V
11 vex 2538 . . . . . . 7 z V
12 brtposg 5791 . . . . . . 7 ((x V y V z V) → (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z))
139, 10, 11, 12mp3an 1217 . . . . . 6 (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z)
1413a1i 9 . . . . 5 (Rel dom 𝐹 → (⟨x, y⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x𝐹z))
1514exbidv 1688 . . . 4 (Rel dom 𝐹 → (zx, y⟩tpos 𝐹zzy, x𝐹z))
169, 10opex 3940 . . . . 5 x, y V
1716eldm 4459 . . . 4 (⟨x, y dom tpos 𝐹zx, y⟩tpos 𝐹z)
189, 10opelcnv 4444 . . . . 5 (⟨x, y dom 𝐹 ↔ ⟨y, x dom 𝐹)
1910, 9opex 3940 . . . . . 6 y, x V
2019eldm 4459 . . . . 5 (⟨y, x dom 𝐹zy, x𝐹z)
2118, 20bitri 173 . . . 4 (⟨x, y dom 𝐹zy, x𝐹z)
2215, 17, 213bitr4g 212 . . 3 (Rel dom 𝐹 → (⟨x, y dom tpos 𝐹 ↔ ⟨x, y dom 𝐹))
2322eqrelrdv2 4366 . 2 (((Rel dom tpos 𝐹 Rel dom 𝐹) Rel dom 𝐹) → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)
248, 23mpancom 401 1 (Rel dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 = dom 𝐹)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535   ⊆ wss 2894  ∅c0 3201  ⟨cop 3353   class class class wbr 3738   × cxp 4270  ◡ccnv 4271  dom cdm 4272  Rel wrel 4277  tpos ctpos 5781 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-fv 4837  df-tpos 5782 This theorem is referenced by:  rntpos  5794  dftpos2  5798  dftpos3  5799  tposfn2  5803
 Copyright terms: Public domain W3C validator