Theorem brtposg 5869

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brtposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opswapg 4807	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
2	1	breq1d 3774	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
3	2	3adant3 924	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
4	3	anbi2d 437	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
5		brtpos2 5866	. . 3 |- ( C e. X -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
6	5	3ad2ant3 927	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
7		opexg 3964	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> <. B , A >. e. _V )
8	7	ancoms 255	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
9	8	anim1i 323	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
10	9	3impa 1099	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
11		breldmg 4541	. . . . . . 7 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X /\ <. B , A >. F C ) -> <. B , A >. e. dom F )
12	11	3expia 1106	. . . . . 6 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
14		opelcnvg 4515	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
15	14	3adant3 924	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
16	13, 15	sylibrd 158	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. `' dom F ) )
17		elun1 3110	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. `' dom F -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
18	16, 17	syl6 29	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
19	18	pm4.71rd 374	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
20	4, 6, 19	3bitr4d 209	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   (/)c0 3224   {csn 3375   <.cop 3378   U.cuni 3580   class class class wbr 3764   `'ccnv 4344   dom cdm 4345  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by:  ottposg  5870  dmtpos  5871  rntpos  5872  ovtposg  5874  dftpos3  5877  tpostpos  5879