ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rntpos Unicode version

Theorem rntpos 5813
Description: The range of tpos  F when  dom  F is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
rntpos  Rel 
dom  F  ran tpos  F 
ran  F

Proof of Theorem rntpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . . 5 
_V
21elrn 4520 . . . 4  ran tpos  F tpos  F
3 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
43, 1breldm 4482 . . . . . . . 8 tpos 
F  dom tpos  F
5 dmtpos 5812 . . . . . . . . 9  Rel 
dom  F  dom tpos  F  `' dom  F
65eleq2d 2104 . . . . . . . 8  Rel 
dom  F  dom tpos  F  `' dom  F
74, 6syl5ib 143 . . . . . . 7  Rel 
dom  F tpos  F  `' dom  F
8 relcnv 4646 . . . . . . . 8  Rel  `' dom  F
9 elrel 4385 . . . . . . . 8  Rel  `' dom  F  `' dom  F 
<. ,  >.
108, 9mpan 400 . . . . . . 7  `' dom  F  <. ,  >.
117, 10syl6 29 . . . . . 6  Rel 
dom  F tpos  F 
<. ,  >.
12 breq1 3758 . . . . . . . . 9  <. , 
>. tpos  F 
<. ,  >.tpos  F
13 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
14 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
15 brtposg 5810 . . . . . . . . . 10  _V  _V  _V  <. ,  >.tpos  F  <. ,  >. F
1613, 14, 1, 15mp3an 1231 . . . . . . . . 9  <. ,  >.tpos  F 
<. ,  >. F
1712, 16syl6bb 185 . . . . . . . 8  <. , 
>. tpos  F 
<. ,  >. F
1814, 13opex 3957 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  _V
1918, 1brelrn 4510 . . . . . . . 8  <. ,  >. F  ran  F
2017, 19syl6bi 152 . . . . . . 7  <. , 
>. tpos  F  ran  F
2120exlimivv 1773 . . . . . 6 
<. ,  >. tpos  F  ran  F
2211, 21syli 33 . . . . 5  Rel 
dom  F tpos  F  ran  F
2322exlimdv 1697 . . . 4  Rel 
dom  F tpos  F  ran  F
242, 23syl5bi 141 . . 3  Rel 
dom  F  ran tpos  F  ran  F
251elrn 4520 . . . 4  ran  F  F
263, 1breldm 4482 . . . . . . 7  F  dom  F
27 elrel 4385 . . . . . . . 8  Rel  dom  F  dom  F  <. ,  >.
2827ex 108 . . . . . . 7  Rel 
dom  F  dom  F  <. ,  >.
2926, 28syl5 28 . . . . . 6  Rel 
dom  F  F 
<. ,  >.
30 breq1 3758 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  F  <. ,  >. F
3130, 16syl6bbr 187 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F  <. , 
>.tpos  F
3213, 14opex 3957 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  _V
3332, 1brelrn 4510 . . . . . . . 8  <. ,  >.tpos  F  ran tpos  F
3431, 33syl6bi 152 . . . . . . 7  <. ,  >.  F 
ran tpos  F
3534exlimivv 1773 . . . . . 6 
<. ,  >.  F  ran tpos  F
3629, 35syli 33 . . . . 5  Rel 
dom  F  F  ran tpos  F
3736exlimdv 1697 . . . 4  Rel 
dom  F  F  ran tpos  F
3825, 37syl5bi 141 . . 3  Rel 
dom  F  ran  F  ran tpos  F
3924, 38impbid 120 . 2  Rel 
dom  F  ran tpos  F 
ran  F
4039eqrdv 2035 1  Rel 
dom  F  ran tpos  F 
ran  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289   Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposfo2  5823
  Copyright terms: Public domain W3C validator