Theorem ottposg 5870

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Proof of Theorem ottposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtposg 5869	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )
2		df-br 3765	. . 3 |- ( <. A , B >.tpos F C <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
3		df-br 3765	. . 3 |- ( <. B , A >. F C <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
4	1, 2, 3	3bitr3g 211	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. tpos F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F ) )
5		df-ot 3385	. . 3 |- <. A , B , C >. = <. <. A , B >. , C >.
6	5	eleq1i 2103	. 2 |- ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
7		df-ot 3385	. . 3 |- <. B , A , C >. = <. <. B , A >. , C >.
8	7	eleq1i 2103	. 2 |- ( <. B , A , C >. e. F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
9	4, 6, 8	3bitr4g 212	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   /\ w3a 885   e. wcel 1393   <.cop 3378   <.cotp 3379   class class class wbr 3764  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-ot 3385  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by: (None)