ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtpos2 Unicode version

Theorem brtpos2 5807
Description: Value of the transposition at a pair  <. ,  >.. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
brtpos2  V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F

Proof of Theorem brtpos2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 5806 . . . 4  Rel tpos  F
21brrelexi 4327 . . 3 tpos 
F  _V
32a1i 9 . 2  V tpos  F  _V
4 elex 2560 . . . 4  `' dom  F  u.  { (/) }  _V
54adantr 261 . . 3  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { } F  _V
65a1i 9 . 2  V  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { } F  _V
7 df-tpos 5801 . . . . . 6 tpos  F  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
87breqi 3761 . . . . 5 tpos 
F  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }
9 brcog 4445 . . . . 5  _V  V  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F
108, 9syl5bb 181 . . . 4  _V  V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  F
11 funmpt 4881 . . . . . . . . . . 11  Fun  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
12 funbrfv2b 5161 . . . . . . . . . . 11  Fun  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  dom  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  dom  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `
14 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
_V
15 snexg 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  _V  { }  _V
1614, 15ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  { }  _V
1716cnvex 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15  `' { }  _V
1817uniex 4140 . . . . . . . . . . . . . 14  U. `' { }  _V
19 eqid 2037 . . . . . . . . . . . . . 14  `' dom  F  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
2018, 19dmmpti 4971 . . . . . . . . . . . . 13  dom  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}
2120eleq2i 2101 . . . . . . . . . . . 12  dom  `' dom  F  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}
22 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . 12  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { } `
2321, 22anbi12i 433 . . . . . . . . . . 11  dom  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `  `' dom  F  u.  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { } `
24 snexg 3927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  `' dom  F  u.  { (/) }  { }  _V
25 cnvexg 4798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  { }  _V  `' { }  _V
2624, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  `' dom  F  u.  { (/) }  `' { }  _V
27 uniexg 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15  `' { }  _V  U. `' { }  _V
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { }  _V
29 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  { }  { }
3029cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  `' { }  `' { }
3130unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15  U. `' { }  U. `' { }
3231, 19fvmptg 5191 . . . . . . . . . . . . . 14  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { }  _V  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `  U. `' { }
3328, 32mpdan 398 . . . . . . . . . . . . 13  `' dom  F  u.  { (/) }  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { } `

U. `' { }
3433eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12  `' dom  F  u.  { (/) }  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `  U. `' { }
3534pm5.32i 427 . . . . . . . . . . 11  `' dom  F  u.  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { } `
 `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { }
3623, 35bitri 173 . . . . . . . . . 10  dom  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { } `  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { }
3713, 36bitri 173 . . . . . . . . 9  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { }
38 ancom 253 . . . . . . . . 9  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { }  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}
3937, 38bitri 173 . . . . . . . 8  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }
4039anbi1i 431 . . . . . . 7  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  F
41 anass 381 . . . . . . 7  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  F  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  F
4240, 41bitri 173 . . . . . 6  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  F
4342exbii 1493 . . . . 5  `' dom  F  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  F  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  F
44 exsimpr 1506 . . . . . . 7  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/)
}  F
45 exsimpl 1505 . . . . . . . 8  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/)
}
46 19.9v 1748 . . . . . . . 8  `' dom  F  u.  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/)
}
4745, 46sylib 127 . . . . . . 7  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/) }
4844, 47syl 14 . . . . . 6  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/) }
49 simpl 102 . . . . . 6  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { } F  `' dom  F  u.  { (/)
}
50 breq1 3758 . . . . . . . . 9  U. `' { }  F  U. `' { } F
5150anbi2d 437 . . . . . . . 8  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
5251ceqsexgv 2667 . . . . . . 7  U. `' { }  _V  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
5328, 52syl 14 . . . . . 6  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/) }  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
5448, 49, 53pm5.21nii 619 . . . . 5  U. `' { }  `' dom  F  u.  { (/)
}  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
5543, 54bitri 173 . . . 4  `' dom  F  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
5610, 55syl6bb 185 . . 3  _V  V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { } F
5756expcom 109 . 2  V  _V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
583, 6, 57pm5.21ndd 620 1  V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909   (/)c0 3218   {csn 3367   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287   dom cdm 4288    o. ccom 4292   Fun wfun 4839   ` cfv 4845  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  brtpos0  5808  reldmtpos  5809  brtposg  5810  dftpos4  5819  tpostpos  5820
  Copyright terms: Public domain W3C validator