ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftpos4 Structured version   Unicode version

Theorem dftpos4 5819
Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos4 tpos  F  F  o.  _V  X.  _V  u. 
{ (/) }  |->  U. `' { }
Distinct variable group:   , F

Proof of Theorem dftpos4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 5801 . . 3 tpos  F  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
2 relcnv 4646 . . . . . . 7  Rel  `' dom  F
3 df-rel 4295 . . . . . . 7  Rel  `' dom  F  `' dom  F 
C_  _V  X.  _V
42, 3mpbi 133 . . . . . 6  `' dom  F 
C_  _V  X.  _V
5 unss1 3106 . . . . . 6  `' dom  F  C_  _V  X.  _V  `' dom  F  u.  { (/)
}  C_  _V  X.  _V  u.  { (/) }
6 resmpt 4599 . . . . . 6  `' dom  F  u.  { (/)
}  C_  _V  X.  _V  u.  { (/) }  _V  X.  _V  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  |`  `' dom  F  u.  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
74, 5, 6mp2b 8 . . . . 5  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  |`  `' dom  F  u.  { (/) }  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
8 resss 4578 . . . . 5  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  |`  `' dom  F  u.  { (/) } 
C_  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
97, 8eqsstr3i 2970 . . . 4  `' dom  F  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  C_  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }
10 coss2 4435 . . . 4  `' dom  F  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  C_  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  F  o.  _V  X.  _V  u. 
{ (/) }  |->  U. `' { }
119, 10ax-mp 7 . . 3  F  o.  `' dom  F  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_  F  o.  _V  X.  _V  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }
121, 11eqsstri 2969 . 2 tpos  F  C_  F  o.  _V  X.  _V  u. 
{ (/) }  |->  U. `' { }
13 relco 4762 . . 3  Rel  F  o.  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }
14 vex 2554 . . . . 5 
_V
15 vex 2554 . . . . 5 
_V
1614, 15opelco 4450 . . . 4  <. ,  >.  F  o.  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  _V  X.  _V  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  F
17 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
18 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  _V  X.  _V  u. 
{ (/) }  _V  X.  _V  u.  { (/) }
19 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . 13  { }  { }
2019cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . 12  `' { }  `' { }
2120unieqd 3582 . . . . . . . . . . 11  U. `' { }  U. `' { }
2221eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10  U. `' { }  U. `' { }
2318, 22anbi12d 442 . . . . . . . . 9  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  U. `' { }
24 eqeq1 2043 . . . . . . . . . 10  U. `' { }  U. `' { }
2524anbi2d 437 . . . . . . . . 9  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  U. `' { }
26 df-mpt 3811 . . . . . . . . 9  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  { <. , 
>.  |  _V  X.  _V  u.  { (/) } 
U. `' { } }
2714, 17, 23, 25, 26brab 4000 . . . . . . . 8  _V  X.  _V  u.  { (/) } 
|->  U. `' { }  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  U. `' { }
28 simplr 482 . . . . . . . . . . . 12  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  U. `' { }
2917, 15breldm 4482 . . . . . . . . . . . . 13  F  dom  F
3029adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  dom  F
3128, 30eqeltrrd 2112 . . . . . . . . . . 11  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  U. `' { }  dom  F
32 elvv 4345 . . . . . . . . . . . . . 14  _V  X.  _V  <. ,  >.
33 opswapg 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  _V  _V  U. `' { <. ,  >. }  <. ,  >.
3415, 17, 33mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  U. `' { <. ,  >. }  <. ,  >.
3534eleq1i 2100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  U. `' { <. ,  >. }  dom  F  <. ,  >. 
dom  F
3615, 17opelcnv 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  `' dom  F  <. , 
>.  dom  F
3735, 36bitr4i 176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  U. `' { <. ,  >. }  dom  F  <. ,  >.  `' dom  F
38 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  <. ,  >.  { }  { <. ,  >. }
3938cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. ,  >.  `' { }  `' { <. ,  >. }
4039unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. ,  >.  U. `' { }  U. `' { <. ,  >. }
4140eleq1d 2103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  U. `' { }  dom  F  U. `' { <. ,  >. }  dom  F
42 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  >.  `' dom  F  <. ,  >.  `' dom  F
4341, 42bibi12d 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  U. `' { }  dom  F  `' dom  F  U. `' { <. ,  >. }  dom  F  <. ,  >.  `' dom  F
4437, 43mpbiri 157 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  U. `' { }  dom  F  `' dom  F
4544exlimivv 1773 . . . . . . . . . . . . . 14 
<. ,  >.  U. `' { }  dom  F  `' dom  F
4632, 45sylbi 114 . . . . . . . . . . . . 13  _V  X.  _V  U. `' { }  dom  F  `' dom  F
4746biimpcd 148 . . . . . . . . . . . 12  U. `' { }  dom  F  _V  X.  _V  `' dom  F
48 elun1 3104 . . . . . . . . . . . 12  `' dom  F  `' dom  F  u.  { (/)
}
4947, 48syl6 29 . . . . . . . . . . 11  U. `' { }  dom  F  _V  X.  _V  `' dom  F  u.  { (/) }
5031, 49syl 14 . . . . . . . . . 10  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  _V  X.  _V  `' dom  F  u.  { (/)
}
51 elun2 3105 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  `' dom  F  u.  { (/) }
5251a1i 9 . . . . . . . . . 10  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  { (/)
}  `' dom  F  u.  { (/)
}
53 simpll 481 . . . . . . . . . . 11  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  _V  X.  _V  u.  { (/) }
54 elun 3078 . . . . . . . . . . 11  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  _V  X.  _V  { (/) }
5553, 54sylib 127 . . . . . . . . . 10  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  _V  X.  _V  { (/) }
5650, 52, 55mpjaod 637 . . . . . . . . 9  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  `' dom  F  u.  { (/)
}
57 simpr 103 . . . . . . . . . 10  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  F
5828, 57eqbrtrrd 3777 . . . . . . . . 9  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  U. `' { } F
5956, 58jca 290 . . . . . . . 8  _V  X.  _V  u.  { (/) }  U. `' { }  F  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { } F
6027, 59sylanb 268 . . . . . . 7  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F  `' dom  F  u.  { (/)
}  U. `' { } F
61 brtpos2 5807 . . . . . . . 8  _V tpos  F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
6215, 61ax-mp 7 . . . . . . 7 tpos 
F  `' dom  F  u.  { (/) }  U. `' { } F
6360, 62sylibr 137 . . . . . 6  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F tpos  F
64 df-br 3756 . . . . . 6 tpos 
F  <. ,  >. tpos  F
6563, 64sylib 127 . . . . 5  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  F  <. ,  >. tpos  F
6665exlimiv 1486 . . . 4  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  F  <. , 
>. tpos  F
6716, 66sylbi 114 . . 3  <. ,  >.  F  o.  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  |->  U. `' { }  <. , 
>. tpos  F
6813, 67relssi 4374 . 2  F  o.  _V  X.  _V  u.  { (/) }  |->  U. `' { }  C_ tpos  F
6912, 68eqssi 2955 1 tpos  F  F  o.  _V  X.  _V  u. 
{ (/) }  |->  U. `' { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288    |` cres 4290    o. ccom 4292   Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposco  5831  nftpos  5835
  Copyright terms: Public domain W3C validator