ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos Structured version   Unicode version

Theorem tpostpos 5820
Description: Value of the double transposition for a general class 
F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos tpos tpos  F  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V

Proof of Theorem tpostpos
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 5806 . 2  Rel tpos tpos  F
2 inss2 3152 . . 3  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V  C_  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
3 relxp 4390 . . 3  Rel  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
4 relss 4370 . . 3  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V 
C_  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V  Rel  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  X.  _V  Rel  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
52, 3, 4mp2 16 . 2  Rel  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
6 relcnv 4646 . . . . . . . . 9  Rel  `' dom tpos  F
7 df-rel 4295 . . . . . . . . 9  Rel  `' dom tpos  F  `' dom tpos  F 
C_  _V  X.  _V
86, 7mpbi 133 . . . . . . . 8  `' dom tpos  F 
C_  _V  X.  _V
9 simpl 102 . . . . . . . 8  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  `' dom tpos  F
108, 9sseldi 2937 . . . . . . 7  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  _V  X.  _V
11 simpr 103 . . . . . . 7  F  _V  X.  _V  _V  X.  _V
12 elvv 4345 . . . . . . . . 9  _V  X.  _V  <. ,  >.
13 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>.  `' dom tpos  F  <. ,  >.  `' dom tpos  F
14 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
15 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
1614, 15opelcnv 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.  `' dom tpos  F  <. ,  >.  dom tpos  F
1713, 16syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>.  `' dom tpos  F  <. ,  >.  dom tpos  F
18 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. , 
>.  { }  { <. , 
>. }
1918cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. , 
>.  `' { }  `' { <. ,  >. }
2019unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. , 
>.  U. `' { }  U. `' { <. , 
>. }
21 opswapg 4750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  _V  _V  U. `' { <. ,  >. }  <. ,  >.
2214, 15, 21mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . . 15  U. `' { <. , 
>. }  <. ,  >.
2320, 22syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>.  U. `' { }  <. ,  >.
2423breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>.  U. `' { }tpos  F 
<. ,  >.tpos  F
2517, 24anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  <. , 
>.  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  <. ,  >.  dom tpos  F  <. ,  >.tpos  F
2615, 14opex 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  _V
27 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
2826, 27breldm 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  <. ,  >.tpos  F  <. ,  >.  dom tpos  F
2928pm4.71ri 372 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.tpos  F  <. ,  >.  dom tpos  F  <. ,  >.tpos  F
30 brtposg 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  _V  _V  _V  <. ,  >.tpos  F  <. , 
>. F
3115, 14, 27, 30mp3an 1231 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.tpos  F 
<. ,  >. F
3229, 31bitr3i 175 . . . . . . . . . . . 12 
<. ,  >. 
dom tpos  F  <. ,  >.tpos  F  <. ,  >. F
3325, 32syl6bb 185 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  <. ,  >. F
34 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  F  <. , 
>. F
3533, 34bitr4d 180 . . . . . . . . . 10  <. , 
>.  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  F
3635exlimivv 1773 . . . . . . . . 9 
<. ,  >.  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  F
3712, 36sylbi 114 . . . . . . . 8  _V  X.  _V  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  F
38 iba 284 . . . . . . . 8  _V  X.  _V  F  F  _V  X.  _V
3937, 38bitrd 177 . . . . . . 7  _V  X.  _V  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  F  _V  X.  _V
4010, 11, 39pm5.21nii 619 . . . . . 6  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  F  _V  X.  _V
41 elsni 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  { (/) }  (/)
4241sneqd 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15  { (/) }  { }  { (/)
}
4342cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . 14  { (/) }  `' { }  `' { (/) }
44 cnvsn0 4732 . . . . . . . . . . . . . 14  `' { (/)
}  (/)
4543, 44syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . 13  { (/) }  `' { }  (/)
4645unieqd 3582 . . . . . . . . . . . 12  { (/) }  U. `' { }  U. (/)
47 uni0 3598 . . . . . . . . . . . 12  U. (/)  (/)
4846, 47syl6eq 2085 . . . . . . . . . . 11  { (/) }  U. `' { }  (/)
4948breq1d 3765 . . . . . . . . . 10  { (/) }  U. `' { }tpos  F  (/)tpos  F
50 brtpos0 5808 . . . . . . . . . . 11  _V  (/)tpos  F  (/) F
5127, 50ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  (/)tpos  F  (/) F
5249, 51syl6bb 185 . . . . . . . . 9  { (/) }  U. `' { }tpos  F  (/) F
5341breq1d 3765 . . . . . . . . 9  { (/) }  F  (/) F
5452, 53bitr4d 180 . . . . . . . 8  { (/) }  U. `' { }tpos  F  F
5554pm5.32i 427 . . . . . . 7  { (/) }  U. `' { }tpos  F  { (/) }  F
56 ancom 253 . . . . . . 7  { (/) }  F  F  { (/) }
5755, 56bitri 173 . . . . . 6  { (/) }  U. `' { }tpos  F  F  { (/) }
5840, 57orbi12i 680 . . . . 5  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  { (/) }  U. `' { }tpos  F  F  _V  X.  _V  F  { (/) }
59 andir 731 . . . . 5  `' dom tpos  F 
{ (/) }  U. `' { }tpos  F  `' dom tpos  F  U. `' { }tpos  F  { (/)
}  U. `' { }tpos  F
60 andi 730 . . . . 5  F  _V  X.  _V  { (/) }  F  _V  X.  _V  F  { (/) }
6158, 59, 603bitr4i 201 . . . 4  `' dom tpos  F 
{ (/) }  U. `' { }tpos  F  F  _V  X.  _V  { (/) }
62 elun 3078 . . . . 5  `' dom tpos  F  u.  { (/) }  `' dom tpos  F 
{ (/) }
6362anbi1i 431 . . . 4  `' dom tpos  F  u.  { (/) }  U. `' { }tpos  F  `' dom tpos  F  { (/) }  U. `' { }tpos  F
64 brxp 4318 . . . . . . 7  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  X.  _V  _V  X.  _V  u.  { (/) } 
_V
6527, 64mpbiran2 847 . . . . . 6  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  X.  _V  _V  X.  _V  u.  { (/) }
66 elun 3078 . . . . . 6  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  _V  X.  _V  { (/) }
6765, 66bitri 173 . . . . 5  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  X.  _V  _V  X.  _V  { (/)
}
6867anbi2i 430 . . . 4  F  _V 
X.  _V  u.  { (/)
}  X.  _V  F  _V  X.  _V  { (/) }
6961, 63, 683bitr4i 201 . . 3  `' dom tpos  F  u.  { (/) }  U. `' { }tpos  F  F  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
70 brtpos2 5807 . . . 4  _V tpos tpos  F  `' dom tpos  F  u.  { (/) }  U. `' { }tpos  F
7127, 70ax-mp 7 . . 3 tpos tpos  F  `' dom tpos  F  u.  {
(/) }  U. `' { }tpos  F
72 brin 3802 . . 3  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V  F  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
7369, 71, 723bitr4i 201 . 2 tpos tpos  F  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
741, 5, 73eqbrriv 4378 1 tpos tpos  F  F  i^i  _V  X.  _V  u.  { (/) }  X.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909    i^i cin 2910    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tpostpos2  5821
  Copyright terms: Public domain W3C validator