Theorem elvv 4402

Description: Membership in universal class of ordered pairs. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elvv	|- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem elvv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4362	. 2 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
2		vex 2560	. . . . 5 |- x e. _V
3		vex 2560	. . . . 5 |- y e. _V
4	2, 3	pm3.2i 257	. . . 4 |- ( x e. _V /\ y e. _V )
5	4	biantru 286	. . 3 |- ( A = <. x , y >. <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
6	5	2exbii 1497	. 2 |- ( E. x E. y A = <. x , y >. <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. _V /\ y e. _V ) ) )
7	1, 6	bitr4i 176	1 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  elvvv  4403  elvvuni  4404  ssrel  4428  elrel  4442  relop  4486  elreldm  4560  dmsnm  4786  1stval2  5782  2ndval2  5783  dfopab2  5815  dfoprab3s  5816  dftpos4  5878  tpostpos  5879  fundmen  6286