Theorem brtpos0 5867

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 5866	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3107	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 3884	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3402	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 2942	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 287	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 4789	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3590	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3607	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2060	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3771	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 175	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	syl6bb 185	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1393   u. cun 2915   (/)c0 3224   {csn 3375   U.cuni 3580   class class class wbr 3764   `'ccnv 4344   dom cdm 4345  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-tpos 5860

This theorem is referenced by:  reldmtpos  5868  tpostpos  5879