Theorem brtpos0 5808

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- (A e. V -> ( (/)tpos FA <-> (/) FA))

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 5807	. 2 |- (A e. V -> ( (/)tpos FA <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) }) /\ U. `' { (/) } FA)))
2		ssun2 3101	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) })
3		0ex 3875	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3394	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 2936	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) })
6	5	biantrur 287	. . 3 |- ( U. `' { (/) } FA <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) }) /\ U. `' { (/) } FA))
7		cnvsn0 4732	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3581	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3598	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2057	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3762	. . 3 |- ( U. `' { (/) } FA <-> (/) FA)
12	6, 11	bitr3i 175	. 2 |- (( (/) e. ( `' dom F u. { (/) }) /\ U. `' { (/) } FA) <-> (/) FA)
13	1, 12	syl6bb 185	1 |- (A e. V -> ( (/)tpos FA <-> (/) FA))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   e. wcel 1390   u. cun 2909   (/)c0 3218   {csn 3367   U.cuni 3571   class class class wbr 3755   `'ccnv 4287   dom cdm 4288  tpos ctpos 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801

This theorem is referenced by:  reldmtpos  5809  tpostpos  5820