ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos Structured version   GIF version

Theorem tpostpos 5820
Description: Value of the double transposition for a general class 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))

Proof of Theorem tpostpos
Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 5806 . 2 Rel tpos tpos 𝐹
2 inss2 3152 . . 3 (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
3 relxp 4390 . . 3 Rel (((V × V) ∪ {∅}) × V)
4 relss 4370 . . 3 ((𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) → (Rel (((V × V) ∪ {∅}) × V) → Rel (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))))
52, 3, 4mp2 16 . 2 Rel (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
6 relcnv 4646 . . . . . . . . 9 Rel dom tpos 𝐹
7 df-rel 4295 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
86, 7mpbi 133 . . . . . . . 8 dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V)
9 simpl 102 . . . . . . . 8 ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) → w dom tpos 𝐹)
108, 9sseldi 2937 . . . . . . 7 ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) → w (V × V))
11 simpr 103 . . . . . . 7 ((w𝐹z w (V × V)) → w (V × V))
12 elvv 4345 . . . . . . . . 9 (w (V × V) ↔ xy w = ⟨x, y⟩)
13 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨x, y⟩ → (w dom tpos 𝐹 ↔ ⟨x, y dom tpos 𝐹))
14 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 x V
15 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 y V
1614, 15opelcnv 4460 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨x, y dom tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x dom tpos 𝐹)
1713, 16syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13 (w = ⟨x, y⟩ → (w dom tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x dom tpos 𝐹))
18 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = {⟨x, y⟩})
1918cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = {⟨x, y⟩})
2019unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = {⟨x, y⟩})
21 opswapg 4750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x V y V) → {⟨x, y⟩} = ⟨y, x⟩)
2214, 15, 21mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨x, y⟩} = ⟨y, x
2320, 22syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = ⟨y, x⟩)
2423breq1d 3765 . . . . . . . . . . . . 13 (w = ⟨x, y⟩ → ( {w}tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x⟩tpos 𝐹z))
2517, 24anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12 (w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ (⟨y, x dom tpos 𝐹 y, x⟩tpos 𝐹z)))
2615, 14opex 3957 . . . . . . . . . . . . . . 15 y, x V
27 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 z V
2826, 27breldm 4482 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨y, x⟩tpos 𝐹z → ⟨y, x dom tpos 𝐹)
2928pm4.71ri 372 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨y, x⟩tpos 𝐹z ↔ (⟨y, x dom tpos 𝐹 y, x⟩tpos 𝐹z))
30 brtposg 5810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y V x V z V) → (⟨y, x⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨x, y𝐹z))
3115, 14, 27, 30mp3an 1231 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨y, x⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨x, y𝐹z)
3229, 31bitr3i 175 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨y, x dom tpos 𝐹 y, x⟩tpos 𝐹z) ↔ ⟨x, y𝐹z)
3325, 32syl6bb 185 . . . . . . . . . . 11 (w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ ⟨x, y𝐹z))
34 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (w = ⟨x, y⟩ → (w𝐹z ↔ ⟨x, y𝐹z))
3533, 34bitr4d 180 . . . . . . . . . 10 (w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ w𝐹z))
3635exlimivv 1773 . . . . . . . . 9 (xy w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ w𝐹z))
3712, 36sylbi 114 . . . . . . . 8 (w (V × V) → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ w𝐹z))
38 iba 284 . . . . . . . 8 (w (V × V) → (w𝐹z ↔ (w𝐹z w (V × V))))
3937, 38bitrd 177 . . . . . . 7 (w (V × V) → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w (V × V))))
4010, 11, 39pm5.21nii 619 . . . . . 6 ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w (V × V)))
41 elsni 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w {∅} → w = ∅)
4241sneqd 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w {∅} → {w} = {∅})
4342cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . 14 (w {∅} → {w} = {∅})
44 cnvsn0 4732 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = ∅
4543, 44syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . 13 (w {∅} → {w} = ∅)
4645unieqd 3582 . . . . . . . . . . . 12 (w {∅} → {w} = ∅)
47 uni0 3598 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
4846, 47syl6eq 2085 . . . . . . . . . . 11 (w {∅} → {w} = ∅)
4948breq1d 3765 . . . . . . . . . 10 (w {∅} → ( {w}tpos 𝐹z ↔ ∅tpos 𝐹z))
50 brtpos0 5808 . . . . . . . . . . 11 (z V → (∅tpos 𝐹z ↔ ∅𝐹z))
5127, 50ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅tpos 𝐹z ↔ ∅𝐹z)
5249, 51syl6bb 185 . . . . . . . . 9 (w {∅} → ( {w}tpos 𝐹z ↔ ∅𝐹z))
5341breq1d 3765 . . . . . . . . 9 (w {∅} → (w𝐹z ↔ ∅𝐹z))
5452, 53bitr4d 180 . . . . . . . 8 (w {∅} → ( {w}tpos 𝐹zw𝐹z))
5554pm5.32i 427 . . . . . . 7 ((w {∅} {w}tpos 𝐹z) ↔ (w {∅} w𝐹z))
56 ancom 253 . . . . . . 7 ((w {∅} w𝐹z) ↔ (w𝐹z w {∅}))
5755, 56bitri 173 . . . . . 6 ((w {∅} {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w {∅}))
5840, 57orbi12i 680 . . . . 5 (((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) (w {∅} {w}tpos 𝐹z)) ↔ ((w𝐹z w (V × V)) (w𝐹z w {∅})))
59 andir 731 . . . . 5 (((w dom tpos 𝐹 w {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) (w {∅} {w}tpos 𝐹z)))
60 andi 730 . . . . 5 ((w𝐹z (w (V × V) w {∅})) ↔ ((w𝐹z w (V × V)) (w𝐹z w {∅})))
6158, 59, 603bitr4i 201 . . . 4 (((w dom tpos 𝐹 w {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z (w (V × V) w {∅})))
62 elun 3078 . . . . 5 (w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (w dom tpos 𝐹 w {∅}))
6362anbi1i 431 . . . 4 ((w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ ((w dom tpos 𝐹 w {∅}) {w}tpos 𝐹z))
64 brxp 4318 . . . . . . 7 (w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z ↔ (w ((V × V) ∪ {∅}) z V))
6527, 64mpbiran2 847 . . . . . 6 (w(((V × V) ∪ {∅}) × V)zw ((V × V) ∪ {∅}))
66 elun 3078 . . . . . 6 (w ((V × V) ∪ {∅}) ↔ (w (V × V) w {∅}))
6765, 66bitri 173 . . . . 5 (w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z ↔ (w (V × V) w {∅}))
6867anbi2i 430 . . . 4 ((w𝐹z w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z) ↔ (w𝐹z (w (V × V) w {∅})))
6961, 63, 683bitr4i 201 . . 3 ((w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z))
70 brtpos2 5807 . . . 4 (z V → (wtpos tpos 𝐹z ↔ (w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z)))
7127, 70ax-mp 7 . . 3 (wtpos tpos 𝐹z ↔ (w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z))
72 brin 3802 . . 3 (w(𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))z ↔ (w𝐹z w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z))
7369, 71, 723bitr4i 201 . 2 (wtpos tpos 𝐹zw(𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))z)
741, 5, 73eqbrriv 4378 1 tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  cin 2910  wss 2911  c0 3218  {csn 3367  cop 3370   cuni 3571   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ccnv 4287  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tpostpos2  5821
  Copyright terms: Public domain W3C validator