Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos Structured version   GIF version

Theorem tpostpos 5797
 Description: Value of the double transposition for a general class 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))

Proof of Theorem tpostpos
Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reltpos 5783 . 2 Rel tpos tpos 𝐹
2 inss2 3131 . . 3 (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V)
3 relxp 4370 . . 3 Rel (((V × V) ∪ {∅}) × V)
4 relss 4350 . . 3 ((𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V)) ⊆ (((V × V) ∪ {∅}) × V) → (Rel (((V × V) ∪ {∅}) × V) → Rel (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))))
52, 3, 4mp2 16 . 2 Rel (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
6 relcnv 4626 . . . . . . . . 9 Rel dom tpos 𝐹
7 df-rel 4275 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
86, 7mpbi 133 . . . . . . . 8 dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V)
9 simpl 102 . . . . . . . 8 ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) → w dom tpos 𝐹)
108, 9sseldi 2916 . . . . . . 7 ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) → w (V × V))
11 simpr 103 . . . . . . 7 ((w𝐹z w (V × V)) → w (V × V))
12 elvv 4325 . . . . . . . . 9 (w (V × V) ↔ xy w = ⟨x, y⟩)
13 eleq1 2078 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨x, y⟩ → (w dom tpos 𝐹 ↔ ⟨x, y dom tpos 𝐹))
14 vex 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15 x V
15 vex 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15 y V
1614, 15opelcnv 4440 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨x, y dom tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x dom tpos 𝐹)
1713, 16syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . 13 (w = ⟨x, y⟩ → (w dom tpos 𝐹 ↔ ⟨y, x dom tpos 𝐹))
18 sneq 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = {⟨x, y⟩})
1918cnveqd 4434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = {⟨x, y⟩})
2019unieqd 3561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = {⟨x, y⟩})
21 opswapg 4730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x V y V) → {⟨x, y⟩} = ⟨y, x⟩)
2214, 15, 21mp2an 404 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨x, y⟩} = ⟨y, x
2320, 22syl6eq 2066 . . . . . . . . . . . . . 14 (w = ⟨x, y⟩ → {w} = ⟨y, x⟩)
2423breq1d 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (w = ⟨x, y⟩ → ( {w}tpos 𝐹z ↔ ⟨y, x⟩tpos 𝐹z))
2517, 24anbi12d 445 . . . . . . . . . . . 12 (w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ (⟨y, x dom tpos 𝐹 y, x⟩tpos 𝐹z)))
2615, 14opex 3936 . . . . . . . . . . . . . . 15 y, x V
27 vex 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15 z V
2826, 27breldm 4462 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨y, x⟩tpos 𝐹z → ⟨y, x dom tpos 𝐹)
2928pm4.71ri 372 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨y, x⟩tpos 𝐹z ↔ (⟨y, x dom tpos 𝐹 y, x⟩tpos 𝐹z))
30 brtposg 5787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y V x V z V) → (⟨y, x⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨x, y𝐹z))
3115, 14, 27, 30mp3an 1215 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨y, x⟩tpos 𝐹z ↔ ⟨x, y𝐹z)
3229, 31bitr3i 175 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨y, x dom tpos 𝐹 y, x⟩tpos 𝐹z) ↔ ⟨x, y𝐹z)
3325, 32syl6bb 185 . . . . . . . . . . 11 (w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ ⟨x, y𝐹z))
34 breq1 3737 . . . . . . . . . . 11 (w = ⟨x, y⟩ → (w𝐹z ↔ ⟨x, y𝐹z))
3533, 34bitr4d 180 . . . . . . . . . 10 (w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ w𝐹z))
3635exlimivv 1754 . . . . . . . . 9 (xy w = ⟨x, y⟩ → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ w𝐹z))
3712, 36sylbi 114 . . . . . . . 8 (w (V × V) → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ w𝐹z))
38 iba 284 . . . . . . . 8 (w (V × V) → (w𝐹z ↔ (w𝐹z w (V × V))))
3937, 38bitrd 177 . . . . . . 7 (w (V × V) → ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w (V × V))))
4010, 11, 39pm5.21nii 607 . . . . . 6 ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w (V × V)))
41 elsni 3370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w {∅} → w = ∅)
4241sneqd 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (w {∅} → {w} = {∅})
4342cnveqd 4434 . . . . . . . . . . . . . 14 (w {∅} → {w} = {∅})
44 cnvsn0 4712 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = ∅
4543, 44syl6eq 2066 . . . . . . . . . . . . 13 (w {∅} → {w} = ∅)
4645unieqd 3561 . . . . . . . . . . . 12 (w {∅} → {w} = ∅)
47 uni0 3577 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
4846, 47syl6eq 2066 . . . . . . . . . . 11 (w {∅} → {w} = ∅)
4948breq1d 3744 . . . . . . . . . 10 (w {∅} → ( {w}tpos 𝐹z ↔ ∅tpos 𝐹z))
50 brtpos0 5785 . . . . . . . . . . 11 (z V → (∅tpos 𝐹z ↔ ∅𝐹z))
5127, 50ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅tpos 𝐹z ↔ ∅𝐹z)
5249, 51syl6bb 185 . . . . . . . . 9 (w {∅} → ( {w}tpos 𝐹z ↔ ∅𝐹z))
5341breq1d 3744 . . . . . . . . 9 (w {∅} → (w𝐹z ↔ ∅𝐹z))
5452, 53bitr4d 180 . . . . . . . 8 (w {∅} → ( {w}tpos 𝐹zw𝐹z))
5554pm5.32i 430 . . . . . . 7 ((w {∅} {w}tpos 𝐹z) ↔ (w {∅} w𝐹z))
56 ancom 253 . . . . . . 7 ((w {∅} w𝐹z) ↔ (w𝐹z w {∅}))
5755, 56bitri 173 . . . . . 6 ((w {∅} {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w {∅}))
5840, 57orbi12i 668 . . . . 5 (((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) (w {∅} {w}tpos 𝐹z)) ↔ ((w𝐹z w (V × V)) (w𝐹z w {∅})))
59 andir 720 . . . . 5 (((w dom tpos 𝐹 w {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ ((w dom tpos 𝐹 {w}tpos 𝐹z) (w {∅} {w}tpos 𝐹z)))
60 andi 719 . . . . 5 ((w𝐹z (w (V × V) w {∅})) ↔ ((w𝐹z w (V × V)) (w𝐹z w {∅})))
6158, 59, 603bitr4i 201 . . . 4 (((w dom tpos 𝐹 w {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z (w (V × V) w {∅})))
62 elun 3057 . . . . 5 (w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (w dom tpos 𝐹 w {∅}))
6362anbi1i 434 . . . 4 ((w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ ((w dom tpos 𝐹 w {∅}) {w}tpos 𝐹z))
64 brxp 4298 . . . . . . 7 (w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z ↔ (w ((V × V) ∪ {∅}) z V))
6527, 64mpbiran2 834 . . . . . 6 (w(((V × V) ∪ {∅}) × V)zw ((V × V) ∪ {∅}))
66 elun 3057 . . . . . 6 (w ((V × V) ∪ {∅}) ↔ (w (V × V) w {∅}))
6765, 66bitri 173 . . . . 5 (w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z ↔ (w (V × V) w {∅}))
6867anbi2i 433 . . . 4 ((w𝐹z w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z) ↔ (w𝐹z (w (V × V) w {∅})))
6961, 63, 683bitr4i 201 . . 3 ((w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z) ↔ (w𝐹z w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z))
70 brtpos2 5784 . . . 4 (z V → (wtpos tpos 𝐹z ↔ (w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z)))
7127, 70ax-mp 7 . . 3 (wtpos tpos 𝐹z ↔ (w (dom tpos 𝐹 ∪ {∅}) {w}tpos 𝐹z))
72 brin 3781 . . 3 (w(𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))z ↔ (w𝐹z w(((V × V) ∪ {∅}) × V)z))
7369, 71, 723bitr4i 201 . 2 (wtpos tpos 𝐹zw(𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))z)
741, 5, 73eqbrriv 4358 1 tpos tpos 𝐹 = (𝐹 ∩ (((V × V) ∪ {∅}) × V))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 616   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531   ∪ cun 2888   ∩ cin 2889   ⊆ wss 2890  ∅c0 3197  {csn 3346  ⟨cop 3349  ∪ cuni 3550   class class class wbr 3734   × cxp 4266  ◡ccnv 4267  dom cdm 4268  Rel wrel 4273  tpos ctpos 5777 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833  df-tpos 5778 This theorem is referenced by:  tpostpos2  5798
 Copyright terms: Public domain W3C validator