Theorem opswapg 4807

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 4806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
2	1	unieqd 3591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3		elex 2566	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
4		elex 2566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		opexgOLD 3965	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
7		unisng 3597	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V → ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
9	2, 8	eqtrd 2072	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  {csn 3375  ⟨cop 3378  ∪ cuni 3580  ^◡ccnv 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  2nd1st  5806  cnvf1olem  5845  brtposg  5869  dftpos4  5878  tpostpos  5879  xpcomco  6300